Análisis real y complejo

Proporcionamos una colección de problemas resueltos de Análisis real y complejo. Se irán añadiendo otros sucesivamente.

    Método de inducción
  1. Descripción del método de inducción
  2. Derivada enésima de la función seno
  3. Desigualdad de Bernoulli
  4. Binomio de Newton
  5. Sucesiones reales
  6. Concepto de sucesión
  7. Límite de una sucesión
  8. Propiedades de los límites
  9. Subsucesiones
  10. Sucesiones monótonas
  11. Límites infinitos
  12. Criterios de Stolz y de las medias aritmética y geométrica
  13. Sucesiones de números reales: problemas diversos
  14. Familia de sucesiones recurrentes
  15. Sucesión recurrente con límite raíz de a
  16. Continuidad
  17. Concepto de continuidad. Primeras propiedades
  18. Continuidad de las funciones elementales
  19. Continuidad de las funciones no elementales
  20. Continuidad en intervalos
  21. Continuidad uniforme
  22. Caracterización de la continuidad uniforme por sucesiones
  23. Teorema de Heine
  24. Continuidad en una variable: problemas diversos
  25. Funciones f-continuas
  26. Continuidad uniforme en espacios métricos por sucesiones
  27. Funciones monótonas, crecientes y decrecientes
  28. Derivadas
  29. Concepto de derivada
  30. Álgebra de derivadas
  31. Derivación de funciones algebraicas
  32. Derivación de funciones trigonométricas y circulares inversas
  33. Derivación de funciones exponenciales y logarítmicas
  34. Derivación de funciones hiperbólicas
  35. Derivación de funciones hiperbólicas inversas
  36. Derivación de funciones compuestas, regla de la cadena
  37. Derivadas: compendio de reglas y fórmulas
  38. Teorema de la función inversa
  39. Derivada de $ (g\circ f^{-1})’(6)$
  40. Derivada logarítmica
  41. Derivadas de órdenes superiores
  42. Fórmula de Leibniz de la derivada enésima
  43. Aplicaciones geométricas de la derivada
  44. Aplicaciones físicas de la derivada
  45. Derivadas infinitas y laterales
  46. Derivación de funciones implícitas
  47. Diferencial de una función
  48. Derivabilidad según parámetros
  49. Familia de funciones de clase 1
  50. Desigualdad y número de raíces
  51. Derivada simétrica
  52. Derivabilidad absoluta
  53. Ecuación diferencial y fórmula de Leibniz
  54. Funciones cumpliendo $f(x)-f(y)\le k_f\left|\operatorname{sen}x-\operatorname{sen}y\right|$
  55. Funciones cumpliendo $ f’(\lambda x) = f’(x)\sin x + f(x)\cos x$
  56. Puntos de inflexión de una familia de curvas
  57. Teoremas del valor medio
  58. Teorema de Rolle
  59. Teorema de Lagrange
  60. Teorema del valor medio de Cauchy
  61. Una aplicación del teorema de Rolle
  62. Diámetro de un subconjunto de R
  63. Límite de las raíces de $ p_n(x)=x^{n+2}-2x+1 $
  64. Recíproco del teorema del valor medio
  65. Fórmula de Taylor
  66. Polinomio de Taylor
  67. Fórmula de Taylor
  68. Aproximación de funciones por polinomios
  69. La notación o minúscula de Landau
  70. Fórmula de Taylor con o minúscula
  71. Una aplicación de la fórmula de Taylor
  72. Una aproximación racional de la raíz de 5
  73. Regla de L’Hôpital
  74. Límites de funciones por la definición
  75. Concepto de indeterminación
  76. Regla de L’Hôpital para 0/0
  77. Distintas formas indeterminadas
  78. Regla de L’Hôpital: problemas diversos
  79. $\lim_{x\to 0}x\lfloor 1/x\rfloor=0$ (vídeo)
  80. $L=\lim_{x \to{}0}{\frac{x^2 e^x}{5x-5e^x+5}}$ sin usar la regla de L’Hôpital
  81. Límite $L=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{x-\sin x}{x^3} $ por tres métodos
  82. Integrales indefinidas
  83. Integral de la función potencial
  84. Integrales inmediatas
  85. Integrales por sustitución o cambio de variable
  86. Integración por partes
  87. Integración de funciones racionales (1)
  88. Integración de funciones racionales (2)
  89. Integración de funciones racionales (3)
  90. Integración de funciones racionales, método de Hermite (4)
  91. Integración de funciones irracionales (1)
  92. Integración de funciones irracionales (2)
  93. Integración de funciones irracionales (3)
  94. Integración de funciones irracionales (4)
  95. Integración de diferenciales binomias
  96. Integración de funciones trigonométricas (1)
  97. Integración de funciones trigonométricas (2)
  98. Integración de funciones trigonométricas (3)
  99. Integración de funciones trigonométricas (4)
  100. Integración de funciones hiperbólicas
  101. Integrales indefinidas: problemas diversos
  102. Integrales definidas
  103. Integral definida como límite de sumas
  104. Cálculo de límites de sucesiones mediante integrales
  105. Teorema fundamental del Cálculo
  106. Regla de Barrow
  107. Propiedades de la integral definida
  108. Cotas de la longitud de una elipse.
  109. Pi es irracional
  110. Fórmula de Wallis
  111. Concepto de integral impropia en intervalos infinitos
  112. Criterios de convergencia de integrales impropias en intervalos infinitos
  113. Criterio de Cauchy para integrales impropias en intervalos infinitos
  114. Convergencia de las integrales de Fresnel
  115. Convergencia absoluta de integrales impropias en intervalos infinitos
  116. Valor principal de Cauchy de una integral impropia
  117. Integrales impropias en intervalos finitos
  118. Función Gamma de Euler
  119. Integral mediante las Gamma y Beta de Euler
  120. Convolución de dos campanas de Gauss
  121. Integral de Euler-Poisson
  122. Una integral por derivación paramétrica (1)
  123. Una integral por derivación paramétrica (2)
  124. Integral de Gauss o de probabilidades
  125. Derivación paramétrica y límite
  126. Cálculo de $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}e^{x^2}\int_{x-\frac{\log x}{2x}}^xe^{-t^2}dt.$
  127. Número combinatorio $\binom{2n}{n}$ e integral
  128. Igualdad integral $\displaystyle\int_{\pi}^{+\infty}\frac{\sin t}{t\log^2 t}dt=\int_{\pi}^{+\infty}\frac{\cos t}{\log t}dt$
  129. La función de Thomae es integrable Riemann en [0,1]
  130. Series numéricas y funcionales
  131. Concepto de serie numérica real
  132. Convergencia y divergencia de series numéricas
  133. Esquemas de asociación de series
  134. Serie geométrica
  135. Álgebra de series
  136. Series de términos positivos
  137. Series absolutamente convergentes
  138. Criterios de la raíz, cociente y Raabe
  139. Criterio integral
  140. Convergencia de las series de Riemann
  141. Series alternadas, criterio de Leibniz
  142. Series telescópicas
  143. Series hipergeométricas
  144. Series aritmético-geométricas
  145. Series con factoriales en el denominador
  146. Suma de series numéricas por desarrollos en serie de funciones
  147. Series de Bertrand
  148. El número e es irracional
  149. Suma de una serie a partir de la de Basilea
  150. Producto de Cauchy de series, contraejemplo
  151. Límite puntual
  152. Convergencia uniforme de sucesiones de funciones
  153. Teorema de Dini
  154. Series uniformemente convergentes. Criterio de Weierstrass
  155. Series enteras o de potencias, radio de convergencia
  156. Derivación e integración de series enteras
  157. Suma de series enteras por derivación o integración
  158. Serie de Maclaurin
  159. Desarrollos en serie de Maclaurin de las funciones habituales
  160. Función suave pero no analítica
  161. Convergencia uniforme en un intervalo no acotado
  162. Sucesión de Fibonacci
  163. Función exponencial real
  164. Sucesión funcional con límite Gamma (x)
  165. Producto de Cauchy de series igual a la unidad
  166. Suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n(n+1)}$
  167. Convergencia de una serie según parámetro
  168. Números armónicos y constante de Euler-Mascheroni
  169. Teorema de reordenación de Riemann
  170. Análisis multivariable
  171. Límites reiterados, contraejemplo
  172. Continuidad y derivadas direccionales
  173. Diferenciabilidad en varias variables
  174. Una derivada direccional máxima
  175. Diferencial de una composición
  176. Puntos de discontinuidad, compacidad
  177. Funciones homogéneas, teorema de Euler
  178. Teorema de la función inversa en $\mathbb{R}^n$
  179. Teorema de la función implícita en $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$
  180. Teorema de la función implícita en $\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^m$
  181. Puntos críticos, cados dudosos
  182. Puntos críticos de $ f(x,y)=\sum_{k=0}^{\infty}(xy)^k $
  183. Máximos y mínimos condicionados. Multiplicadores de Lagrange
  184. Paralelepípedo inscrito en un elipsoide
  185. Extremos absolutos sobre compactos
  186. Puntos críticos de $g(x,y)=p(f(x))+p(f(y))$
  187. Extremos locales de una integral biparamétrica
  188. Continuidad uniforme y teorema de Tychonoff
  189. Integral doble como producto de simples
  190. Integral en el cubo unidad
  191. Integral de superficie de una función homogénea
  192. Integral doble impropia por un cambio ortogonal
  193. Integral doble impropia con parámetros
  194. Teoremas de Stokes y Gauss: comprobación
  195. Flujo y circulación de un campo
  196. Centro de gravedad de una esfera
  197. Móviles sobre dos circunferencias
  198. Circulación de un campo y producto mixto
  199. Potencial de un campo con función homogénea
  200. Un campo gradiente
  201. Desarrollo de Taylor de orden $n$ de $f(x,y)=\log (x+y)$
  202. Extremos de $f:\left(\mathbb{R}^+\right)^3\to \mathbb{R},$ $f(x,y,z)=x^my^nz^p$ sobre un plano
  203. Integral triple $\iiint_Tx^my^nz^p(1-x-y-z)^qdxdydz$
  204. Máximo de $ f(x_1,\ldots,x_n)=\sum_{i=1}^n{\log(1+x_i)}$ con $\sum_{i=1}^nx_i=a$
  205. Distancia de un plano y de una curva al origen
  206. Espacios normados
  207. Norrma, espacio normado
  208. Desigualdades de Young, Hölder y Minkowski
  209. Normas $p$
  210. Distancia inducida por la norma
  211. La distancia es uniformemente continua
  212. Series en espacios normados
  213. Normas equivalentes
  214. Normas no equivalentes
  215. Propiedades topológicas en los espacios normados
  216. Aplicaciones lineales continuas entre espacios normados
  217. Una aplicación lineal discontinua
  218. Espacios normados de dimensión finita
  219. Teorema de Riesz
  220. Norma de una aplicación lineal y continua
  221. Diferenciabilidad entre espacios de Banach
  222. Criterio de Dirichlet para la convergencia de series
  223. Criterio de Abel para la convergencia de series
  224. Espacio de funciones completo y no compacto
  225. Espacio de Banach de las funciones continuas con la norma del supremo
  226. Espacio de Banach $l^1(\mathbb{N})$
  227. Suma $\sum_{k=0}^\infty{(I-A)^k}$ en un espacio de matrices
  228. Desigualdad de Schwarz y norma en los espacios prehilbertianos
  229. Espacio prehilbertiano de las sucesiones finitamente no nulas
  230. Análisis complejo
  231. Proyección estereográfica
  232. Derivada compleja
  233. Ecuaciones de Cauchy-Riemann
  234. Función exponencial compleja
  235. Funciones trigonométricas complejas
  236. Funciones hiperbólicas complejas
  237. Logaritmo complejo
  238. Funciones armónicas
  239. Función armónica conjugada
  240. Familia de funciones armónicas
  241. Polinomio de Hurwitz
  242. Funciones holomorfas f: Re (f) + Im (f) =1
  243. Principio del módulo máximo
  244. Lema de Schwarz
  245. Fórmulas integrales de Cauchy
  246. Demostración del teorema de Liouville (vídeo)
  247. Integral $\displaystyle\int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{a+b\cos \theta+c\sin\theta}$
  248. Integral de (log z)^3 dz/z en un arco de circunferencia
  249. Singularidades y residuos de $f(z)=\dfrac{\sin z}{z^3+z^2-z-1}$
  250. Singularidades y residuos de $f(z)=\dfrac{e^{1/z}}{z-1}$
  251. Singularidad y residuo en el origen de $f(z)=\dfrac{1}{2+z^2-2\cosh z}$
  252. Integral $ \int_{T}\bar{z}^2\;dz$ sobre una curva de Jordan
  253. Integral $ \int_{0}^{+\infty}(\cos x/\cosh x)\;dx $ por residuos
  254. Función holomorfa biperiódica
  255. Principio del argumento: ceros en Re (z) > 0
  256. Una integral con residuo en el punto del infinito
  257. Ceros de las funciones analíticas
  258. Series complejas: conceptos básicos
  259. Series complejas: criterios de la raíz y del cociente
  260. Series complejas enteras, radio de convergencia
  261. Fórmula de Cauchy-Hadamard
  262. Teorema de Pitagoras trigonométrico por series de potencias
  263. Ecuación funcional compleja
  264. Desarrollo en serie de Laurent
  265. Serie de Laurent con parámetros
  266. Recurrente compleja por serie de potencias
  267. Suma de series por residuos
  268. Familia de racionales complejas
  269. Teorema de Rouche
  270. Función holomorfa: representación integral
  271. Integral $ \int_0^{+\infty}x\;dx/((1+x)^n-(1-x)^n)$ por residuos
  272. Una aplicación de las desigualdades de Cauchy
  273. Un problema de Dirichlet
  274. Integrales de Fresnel
  275. Límite de promedios en un polígono regular
  276. Fórmula integral de Cauchy y matriz exponencial
  277. Polinomio de Lagrange-Sylvester, representación integral
  278. Transformado de un polinomio complejo
  279. Área de una imagen del círculo unidad
  280. Relación entre dos integrales por residuos
  281. Una integral trigonométrica en [0, pi]
  282. Integral $\int_0^{2\pi}\frac{\cos 3t}{1-2a\cos t+a^2}\;dt $
  283. Función entera y polinomio
  284. Integral $ \int_0^{+\infty}x^n\;dx/(x^{2n+1}+1) $
  285. Integral $\int_{0}^{+\infty}\frac{\log (x^2+1)}{x^2+1}dx$ por residuos
  286. Teorema de Casorati-Weierstrass: singularidades de $1/f$
  287. Función entera que es polinómica
  288. Derivabilidad de una función compleja como suma de dos series
  289. Existencia de ceros en el disco unidad
  290. Funciones holomorfas en un disco