Análisis real y complejo

Proporcionamos una colección de problemas resueltos de Análisis real y complejo. Se irán añadiendo otros sucesivamente.

    Método de inducción
  1. Descripción del método de inducción
  2. Derivada enésima de la función seno
  3. Desigualdad de Bernoulli
  4. Binomio de Newton
  5. Regiones determinadas por $n$ rectas del plano
  6. Sucesiones reales
  7. Concepto de sucesión
  8. Límite de una sucesión
  9. Propiedades de los límites
  10. Subsucesiones
  11. Sucesiones monótonas
  12. Límites infinitos
  13. Criterios de Stolz y de las medias aritmética y geométrica
  14. Sucesiones de números reales: problemas diversos
  15. Familia de sucesiones recurrentes
  16. Sucesión recurrente con límite raíz de a
  17. Continuidad
  18. Concepto de continuidad. Primeras propiedades
  19. Continuidad de las funciones elementales
  20. Continuidad de las funciones no elementales
  21. Continuidad en intervalos
  22. Continuidad uniforme en espacios métricos por sucesiones
  23. Continuidad uniforme
  24. Caracterización de la continuidad uniforme por sucesiones
  25. Teorema de Heine
  26. Continuidad en una variable: problemas diversos
  27. Funciones f-continuas
  28. Continuidad uniforme en espacios métricos por sucesiones
  29. Funciones monótonas, crecientes y decrecientes
  30. Derivadas
  31. Concepto de derivada
  32. Álgebra de derivadas
  33. Derivación de funciones algebraicas
  34. Derivación de funciones trigonométricas y circulares inversas
  35. Derivación de funciones exponenciales y logarítmicas
  36. Derivación de funciones hiperbólicas
  37. Derivación de funciones hiperbólicas inversas
  38. Derivación de funciones compuestas, regla de la cadena
  39. Derivadas: compendio de reglas y fórmulas
  40. Teorema de la función inversa
  41. Derivada de $ (g\circ f^{-1})’(6)$
  42. Derivada logarítmica
  43. Derivadas de órdenes superiores
  44. Fórmula de Leibniz de la derivada enésima
  45. Aplicaciones geométricas de la derivada
  46. Aplicaciones físicas de la derivada
  47. Derivadas infinitas y laterales
  48. Derivación de funciones implícitas
  49. Diferencial de una función
  50. Derivabilidad según parámetros
  51. Familia de funciones de clase 1
  52. Desigualdad y número de raíces
  53. Derivada simétrica
  54. Derivabilidad absoluta
  55. Ecuación diferencial y fórmula de Leibniz
  56. Funciones cumpliendo $f(x)-f(y)\le k_f\left|\operatorname{sen}x-\operatorname{sen}y\right|$
  57. Funciones cumpliendo $ f’(\lambda x) = f’(x)\sin x + f(x)\cos x$
  58. Puntos de inflexión de una familia de curvas
  59. Teoremas del valor medio
  60. Teorema de Rolle
  61. Teorema de Lagrange
  62. Teorema del valor medio de Cauchy
  63. Una aplicación del teorema de Rolle
  64. Diámetro de un subconjunto de R
  65. Límite de las raíces de $ p_n(x)=x^{n+2}-2x+1 $
  66. Recíproco del teorema del valor medio
  67. Fórmula de Taylor
  68. Polinomio de Taylor
  69. Fórmula de Taylor
  70. Aproximación de funciones por polinomios
  71. La notación o minúscula de Landau
  72. Fórmula de Taylor con o minúscula
  73. Una aplicación de la fórmula de Taylor
  74. Una aproximación racional de la raíz de 5
  75. Regla de L’Hôpital
  76. Límites de funciones por la definición
  77. Concepto de indeterminación
  78. Regla de L’Hôpital para 0/0
  79. Distintas formas indeterminadas
  80. Regla de L’Hôpital: problemas diversos
  81. $\lim_{x\to 0}x\lfloor 1/x\rfloor=0$ (vídeo)
  82. $L=\lim_{x \to{}0}{\frac{x^2 e^x}{5x-5e^x+5}}$ sin usar la regla de L’Hôpital
  83. Límite $L=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{x-\sin x}{x^3} $ por tres métodos
  84. Integrales indefinidas
  85. Integral de la función potencial
  86. Integrales inmediatas
  87. Integrales por sustitución o cambio de variable
  88. Integración por partes
  89. Integración de funciones racionales (1)
  90. Integración de funciones racionales (2)
  91. Integración de funciones racionales (3)
  92. Integración de funciones racionales, método de Hermite (4)
  93. Integración de funciones irracionales (1)
  94. Integración de funciones irracionales (2)
  95. Integración de funciones irracionales (3)
  96. Integración de funciones irracionales (4)
  97. Integración de diferenciales binomias
  98. Integración de funciones trigonométricas (1)
  99. Integración de funciones trigonométricas (2)
  100. Integración de funciones trigonométricas (3)
  101. Integración de funciones trigonométricas (4)
  102. Integración de funciones hiperbólicas
  103. Integrales indefinidas: problemas diversos
  104. Integrales definidas
  105. Integral definida como límite de sumas
  106. Cálculo de límites de sucesiones mediante integrales
  107. Teorema fundamental del Cálculo
  108. Regla de Barrow
  109. Propiedades de la integral definida
  110. Cotas de la longitud de una elipse.
  111. Pi es irracional
  112. Fórmula de Wallis
  113. Concepto de integral impropia en intervalos infinitos
  114. Criterios de convergencia de integrales impropias en intervalos infinitos
  115. Criterio de Cauchy para integrales impropias en intervalos infinitos
  116. Convergencia de las integrales de Fresnel
  117. Convergencia absoluta de integrales impropias en intervalos infinitos
  118. Valor principal de Cauchy de una integral impropia
  119. Integrales impropias en intervalos finitos
  120. Función Gamma de Euler
  121. Integral mediante las Gamma y Beta de Euler
  122. Convolución de dos campanas de Gauss
  123. Integral de Euler-Poisson
  124. Una integral por derivación paramétrica (1)
  125. Una integral por derivación paramétrica (2)
  126. Integral de Gauss o de probabilidades
  127. Derivación paramétrica y límite
  128. Cálculo de $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}e^{x^2}\int_{x-\frac{\log x}{2x}}^xe^{-t^2}dt.$
  129. Número combinatorio $\binom{2n}{n}$ e integral
  130. Igualdad integral $\displaystyle\int_{\pi}^{+\infty}\frac{\sin t}{t\log^2 t}dt=\int_{\pi}^{+\infty}\frac{\cos t}{\log t}dt$
  131. La función de Thomae es integrable Riemann en [0,1]
  132. Desigualdad de Jensen
  133. Series numéricas y funcionales
  134. Concepto de serie numérica real
  135. Convergencia y divergencia de series numéricas
  136. Esquemas de asociación de series
  137. Serie geométrica
  138. Álgebra de series
  139. Series de términos positivos
  140. Series absolutamente convergentes
  141. Criterios de la raíz, cociente y Raabe
  142. Criterio integral
  143. Convergencia de las series de Riemann
  144. Series alternadas, criterio de Leibniz
  145. Series telescópicas
  146. Series hipergeométricas
  147. Series aritmético-geométricas
  148. Series con factoriales en el denominador
  149. Suma de series numéricas por desarrollos en serie de funciones
  150. Series de Bertrand
  151. El número e es irracional
  152. Suma de una serie a partir de la de Basilea
  153. Producto de Cauchy de series, contraejemplo
  154. Límite puntual
  155. Convergencia uniforme de sucesiones de funciones
  156. Polinomios de Bernstein
  157. Teorema de Dini
  158. Series uniformemente convergentes. Criterio de Weierstrass
  159. Series enteras o de potencias, radio de convergencia
  160. Derivación e integración de series enteras
  161. Suma de series enteras por derivación o integración
  162. Serie de Maclaurin
  163. Desarrollos en serie de Maclaurin de las funciones habituales
  164. Función suave pero no analítica
  165. Convergencia uniforme en un intervalo no acotado
  166. Sucesión de Fibonacci
  167. Función exponencial real
  168. Sucesión funcional con límite Gamma (x)
  169. Producto de Cauchy de series igual a la unidad
  170. Suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n(n+1)}$
  171. Convergencia de una serie según parámetro
  172. Números armónicos y constante de Euler-Mascheroni
  173. Teorema de reordenación de Riemann
  174. Análisis multivariable
  175. Límites reiterados, contraejemplo
  176. Continuidad y derivadas direccionales
  177. Diferenciabilidad en varias variables
  178. Teorema del valor medio escalar
  179. Una derivada direccional máxima
  180. Diferencial de una composición
  181. Puntos de discontinuidad, compacidad
  182. Funciones homogéneas, teorema de Euler
  183. Teorema de la función inversa en $\mathbb{R}^n$
  184. Teorema de la función implícita en $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$
  185. Teorema de la función implícita en $\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^m$
  186. Puntos críticos, cados dudosos
  187. Puntos críticos de $ f(x,y)=\sum_{k=0}^{\infty}(xy)^k $
  188. Máximos y mínimos condicionados. Multiplicadores de Lagrange
  189. Paralelepípedo inscrito en un elipsoide
  190. Extremos absolutos sobre compactos
  191. Puntos críticos de $g(x,y)=p(f(x))+p(f(y))$
  192. Extremos locales de una integral biparamétrica
  193. Continuidad uniforme y teorema de Tychonoff
  194. Integral doble como producto de simples
  195. Integral en el cubo unidad
  196. Integral de superficie de una función homogénea
  197. Integral doble impropia por un cambio ortogonal
  198. Integral doble impropia con parámetros
  199. Teoremas de Stokes y Gauss: comprobación
  200. Flujo y circulación de un campo
  201. Centro de gravedad de una esfera
  202. Móviles sobre dos circunferencias
  203. Circulación de un campo y producto mixto
  204. Potencial de un campo con función homogénea
  205. Un campo gradiente
  206. Desarrollo de Taylor de orden $n$ de $f(x,y)=\log (x+y)$
  207. Extremos de $f:\left(\mathbb{R}^+\right)^3\to \mathbb{R},$ $f(x,y,z)=x^my^nz^p$ sobre un plano
  208. Integral triple $\iiint_Tx^my^nz^p(1-x-y-z)^qdxdydz$
  209. Máximo de $ f(x_1,\ldots,x_n)=\sum_{i=1}^n{\log(1+x_i)}$ con $\sum_{i=1}^nx_i=a$
  210. Distancia de un plano y de una curva al origen
  211. Espacios normados
  212. Norrma, espacio normado
  213. Desigualdades de Young, Hölder y Minkowski
  214. Normas $p$
  215. Distancia inducida por la norma
  216. La distancia es uniformemente continua
  217. Series en espacios normados
  218. Normas equivalentes
  219. Normas no equivalentes
  220. Propiedades topológicas en los espacios normados
  221. Aplicaciones lineales continuas entre espacios normados
  222. Una aplicación lineal discontinua
  223. Espacios normados de dimensión finita
  224. Teorema de Riesz
  225. Norma de una aplicación lineal y continua
  226. Diferenciabilidad entre espacios de Banach
  227. Criterio de Dirichlet para la convergencia de series
  228. Criterio de Abel para la convergencia de series
  229. Espacio de funciones completo y no compacto
  230. Espacio de Banach de las funciones continuas con la norma del supremo
  231. Espacio de Banach $l^1(\mathbb{N})$
  232. Suma $\sum_{k=0}^\infty{(I-A)^k}$ en un espacio de matrices
  233. Desigualdad de Schwarz y norma en los espacios prehilbertianos
  234. Espacio prehilbertiano de las sucesiones finitamente no nulas
  235. Espacios $l_p$
  236. Análisis complejo
  237. Proyección estereográfica
  238. Derivada compleja
  239. Ecuaciones de Cauchy-Riemann
  240. Función exponencial compleja
  241. Funciones trigonométricas complejas
  242. Funciones hiperbólicas complejas
  243. Logaritmo complejo
  244. Funciones armónicas
  245. Función armónica conjugada
  246. Familia de funciones armónicas
  247. Polinomio de Hurwitz
  248. Funciones holomorfas f: Re (f) + Im (f) =1
  249. Principio del módulo máximo
  250. Lema de Schwarz
  251. Fórmulas integrales de Cauchy
  252. Demostración del teorema de Liouville (vídeo)
  253. Integral $\int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{a+b\cos \theta+c\sin\theta}$
  254. Integral de $\log^3 z dz/z$ en un arco de circunferencia
  255. Singularidades y residuos de $f(z)=\frac{\sin z}{z^3+z^2-z-1}$
  256. Singularidades y residuos de $f(z)=\frac{e^{1/z}}{z-1}$
  257. Singularidad y residuo en el origen de $f(z)=\frac{1}{2+z^2-2\cosh z}$
  258. Integral $ \int_{T}\bar{z}^2\;dz$ sobre una curva de Jordan
  259. Integral $ \int_{0}^{+\infty}(\cos x/\cosh x)\;dx $ por residuos
  260. Función holomorfa biperiódica
  261. Principio del argumento: ceros en Re (z) > 0
  262. Una integral con residuo en el punto del infinito
  263. Ceros de las funciones analíticas
  264. Series complejas: conceptos básicos
  265. Series complejas: criterios de la raíz y del cociente
  266. Series complejas enteras, radio de convergencia
  267. Fórmula de Cauchy-Hadamard
  268. Teorema de Pitagoras trigonométrico por series de potencias
  269. Ecuación funcional compleja
  270. Desarrollo en serie de Laurent
  271. Serie de Laurent con parámetros
  272. Recurrente compleja por serie de potencias
  273. Suma de series por residuos
  274. Familia de racionales complejas
  275. Teorema de Rouche
  276. Función holomorfa: representación integral
  277. Integral $ \int_0^{+\infty}x\;dx/((1+x)^n-(1-x)^n)$ por residuos
  278. Una aplicación de las desigualdades de Cauchy
  279. Un problema de Dirichlet
  280. Integrales de Fresnel
  281. Límite de promedios en un polígono regular
  282. Fórmula integral de Cauchy y matriz exponencial
  283. Polinomio de Lagrange-Sylvester, representación integral
  284. Transformado de un polinomio complejo
  285. Área de una imagen del círculo unidad
  286. Relación entre dos integrales por residuos
  287. Una integral trigonométrica en [$0, \pi ]$
  288. Integral $\int_0^{2\pi}\frac{\cos 3t}{1-2a\cos t+a^2}\;dt $
  289. Función entera y polinomio
  290. Integral $ \int_0^{+\infty}x^n\;dx/(x^{2n+1}+1) $
  291. Integral $\int_{0}^{+\infty}\frac{\log (x^2+1)}{x^2+1}dx$ por residuos
  292. Teorema de Casorati-Weierstrass: singularidades de $1/f$
  293. Función entera que es polinómica
  294. Derivabilidad de una función compleja como suma de dos series
  295. Existencia de ceros en el disco unidad
  296. Funciones holomorfas en un disco