Análisis real y complejo

Proporcionamos una colección de problemas resueltos de Análisis real y complejo. Se irán añadiendo otros sucesivamente.

    Método de inducción
  1. Descripción del método de inducción
  2. Derivada enésima de la función seno
  3. Desigualdad de Bernoulli
  4. Binomio de Newton
  5. Sucesiones reales
  6. Concepto de sucesión
  7. Límite de una sucesión
  8. Propiedades de los límites
  9. Subsucesiones
  10. Sucesiones monótonas
  11. Límites infinitos
  12. Criterios de Stolz y de las medias aritmética y geométrica
  13. Sucesiones de números reales: problemas diversos
  14. Familia de sucesiones recurrentes
  15. Sucesión recurrente con límite raíz de a
  16. Continuidad
  17. Concepto de continuidad. Primeras propiedades
  18. Continuidad de las funciones elementales
  19. Continuidad de las funciones no elementales
  20. Continuidad en intervalos
  21. Continuidad uniforme
  22. Caracterización de la continuidad uniforme por sucesiones
  23. Teorema de Heine
  24. Continuidad en una variable: problemas diversos
  25. Funciones f-continuas
  26. Continuidad uniforme en espacios métricos por sucesiones
  27. Funciones monótonas, crecientes y decrecientes
  28. Derivadas
  29. Concepto de derivada
  30. Álgebra de derivadas
  31. Derivación de funciones algebraicas
  32. Derivación de funciones trigonométricas y circulares inversas
  33. Derivación de funciones exponenciales y logarítmicas
  34. Derivación de funciones hiperbólicas
  35. Derivación de funciones hiperbólicas inversas
  36. Derivación de funciones compuestas, regla de la cadena
  37. Derivadas: compendio de reglas y fórmulas
  38. Teorema de la función inversa
  39. Derivada de $ (g\circ f^{-1})’(6)$
  40. Derivada logarítmica
  41. Derivadas de órdenes superiores
  42. Fórmula de Leibniz de la derivada enésima
  43. Aplicaciones geométricas de la derivada
  44. Aplicaciones físicas de la derivada
  45. Derivadas infinitas y laterales
  46. Derivación de funciones implícitas
  47. Diferencial de una función
  48. Derivabilidad según parámetros
  49. Familia de funciones de clase 1
  50. Desigualdad y número de raíces
  51. Derivada simétrica
  52. Derivabilidad absoluta
  53. Ecuación diferencial y fórmula de Leibniz
  54. Funciones cumpliendo $f(x)-f(y)\le k_f\left|\operatorname{sen}x-\operatorname{sen}y\right|$
  55. Funciones cumpliendo $ f’(\lambda x) = f’(x)\sin x + f(x)\cos x$
  56. Puntos de inflexión de una familia de curvas
  57. Teoremas del valor medio
  58. Teorema de Rolle
  59. Teorema de Lagrange
  60. Teorema del valor medio de Cauchy
  61. Una aplicación del teorema de Rolle
  62. Diámetro de un subconjunto de R
  63. Límite de las raíces de $ p_n(x)=x^{n+2}-2x+1 $
  64. Recíproco del teorema del valor medio
  65. Fórmula de Taylor
  66. Polinomio de Taylor
  67. Fórmula de Taylor
  68. Aproximación de funciones por polinomios
  69. La notación o minúscula de Landau
  70. Fórmula de Taylor con o minúscula
  71. Una aplicación de la fórmula de Taylor
  72. Una aproximación racional de la raíz de 5
  73. Regla de L’Hôpital
  74. Límites de funciones por la definición
  75. Concepto de indeterminación
  76. Regla de L’Hôpital para 0/0
  77. Distintas formas indeterminadas
  78. Regla de L’Hôpital: problemas diversos
  79. $\lim_{x\to 0}x\lfloor 1/x\rfloor=0$ (vídeo)
  80. $L=\lim_{x \to{}0}{\frac{x^2 e^x}{5x-5e^x+5}}$ sin usar la regla de L’Hôpital
  81. Límite $L=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{x-\sin x}{x^3} $ por tres métodos
  82. Integrales indefinidas
  83. Integral de la función potencial
  84. Integrales inmediatas
  85. Integrales por sustitución o cambio de variable
  86. Integración por partes
  87. Integración de funciones racionales (1)
  88. Integración de funciones racionales (2)
  89. Integración de funciones racionales (3)
  90. Integración de funciones racionales, método de Hermite (4)
  91. Integración de funciones irracionales (1)
  92. Integración de funciones irracionales (2)
  93. Integración de funciones irracionales (3)
  94. Integración de funciones irracionales (4)
  95. Integración de diferenciales binomias
  96. Integración de funciones trigonométricas (1)
  97. Integración de funciones trigonométricas (2)
  98. Integración de funciones trigonométricas (3)
  99. Integración de funciones trigonométricas (4)
  100. Integración de funciones hiperbólicas
  101. Integrales indefinidas: problemas diversos
  102. Integrales definidas
  103. Integral definida como límite de sumas
  104. Cálculo de límites de sucesiones mediante integrales
  105. Teorema fundamental del Cálculo
  106. Regla de Barrow
  107. Propiedades de la integral definida
  108. Cotas de la longitud de una elipse.
  109. Pi es irracional
  110. Fórmula de Wallis
  111. Concepto de integral impropia en intervalos infinitos
  112. Criterios de convergencia de integrales impropias en intervalos infinitos
  113. Criterio de Cauchy para integrales impropias en intervalos infinitos
  114. Convergencia de las integrales de Fresnel
  115. Convergencia absoluta de integrales impropias en intervalos infinitos
  116. Valor principal de Cauchy de una integral impropia
  117. Integrales impropias en intervalos finitos
  118. Función Gamma de Euler
  119. Integral mediante las Gamma y Beta de Euler
  120. Convolución de dos campanas de Gauss
  121. Integral de Euler-Poisson
  122. Una integral por derivación paramétrica (1)
  123. Una integral por derivación paramétrica (2)
  124. Integral de Gauss o de probabilidades
  125. Derivación paramétrica y límite
  126. Cálculo de $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}e^{x^2}\int_{x-\frac{\log x}{2x}}^xe^{-t^2}dt.$
  127. Número combinatorio $\binom{2n}{n}$ e integral
  128. Igualdad integral $\displaystyle\int_{\pi}^{+\infty}\frac{\sin t}{t\log^2 t}dt=\int_{\pi}^{+\infty}\frac{\cos t}{\log t}dt$
  129. La función de Thomae es integrable Riemann en [0,1]
  130. Desigualdad de Jensen
  131. Series numéricas y funcionales
  132. Concepto de serie numérica real
  133. Convergencia y divergencia de series numéricas
  134. Esquemas de asociación de series
  135. Serie geométrica
  136. Álgebra de series
  137. Series de términos positivos
  138. Series absolutamente convergentes
  139. Criterios de la raíz, cociente y Raabe
  140. Criterio integral
  141. Convergencia de las series de Riemann
  142. Series alternadas, criterio de Leibniz
  143. Series telescópicas
  144. Series hipergeométricas
  145. Series aritmético-geométricas
  146. Series con factoriales en el denominador
  147. Suma de series numéricas por desarrollos en serie de funciones
  148. Series de Bertrand
  149. El número e es irracional
  150. Suma de una serie a partir de la de Basilea
  151. Producto de Cauchy de series, contraejemplo
  152. Límite puntual
  153. Convergencia uniforme de sucesiones de funciones
  154. Polinomios de Bernstein
  155. Teorema de Dini
  156. Series uniformemente convergentes. Criterio de Weierstrass
  157. Series enteras o de potencias, radio de convergencia
  158. Derivación e integración de series enteras
  159. Suma de series enteras por derivación o integración
  160. Serie de Maclaurin
  161. Desarrollos en serie de Maclaurin de las funciones habituales
  162. Función suave pero no analítica
  163. Convergencia uniforme en un intervalo no acotado
  164. Sucesión de Fibonacci
  165. Función exponencial real
  166. Sucesión funcional con límite Gamma (x)
  167. Producto de Cauchy de series igual a la unidad
  168. Suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n(n+1)}$
  169. Convergencia de una serie según parámetro
  170. Números armónicos y constante de Euler-Mascheroni
  171. Teorema de reordenación de Riemann
  172. Análisis multivariable
  173. Límites reiterados, contraejemplo
  174. Continuidad y derivadas direccionales
  175. Diferenciabilidad en varias variables
  176. Teorema del valor medio escalar
  177. Una derivada direccional máxima
  178. Diferencial de una composición
  179. Puntos de discontinuidad, compacidad
  180. Funciones homogéneas, teorema de Euler
  181. Teorema de la función inversa en $\mathbb{R}^n$
  182. Teorema de la función implícita en $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$
  183. Teorema de la función implícita en $\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^m$
  184. Puntos críticos, cados dudosos
  185. Puntos críticos de $ f(x,y)=\sum_{k=0}^{\infty}(xy)^k $
  186. Máximos y mínimos condicionados. Multiplicadores de Lagrange
  187. Paralelepípedo inscrito en un elipsoide
  188. Extremos absolutos sobre compactos
  189. Puntos críticos de $g(x,y)=p(f(x))+p(f(y))$
  190. Extremos locales de una integral biparamétrica
  191. Continuidad uniforme y teorema de Tychonoff
  192. Integral doble como producto de simples
  193. Integral en el cubo unidad
  194. Integral de superficie de una función homogénea
  195. Integral doble impropia por un cambio ortogonal
  196. Integral doble impropia con parámetros
  197. Teoremas de Stokes y Gauss: comprobación
  198. Flujo y circulación de un campo
  199. Centro de gravedad de una esfera
  200. Móviles sobre dos circunferencias
  201. Circulación de un campo y producto mixto
  202. Potencial de un campo con función homogénea
  203. Un campo gradiente
  204. Desarrollo de Taylor de orden $n$ de $f(x,y)=\log (x+y)$
  205. Extremos de $f:\left(\mathbb{R}^+\right)^3\to \mathbb{R},$ $f(x,y,z)=x^my^nz^p$ sobre un plano
  206. Integral triple $\iiint_Tx^my^nz^p(1-x-y-z)^qdxdydz$
  207. Máximo de $ f(x_1,\ldots,x_n)=\sum_{i=1}^n{\log(1+x_i)}$ con $\sum_{i=1}^nx_i=a$
  208. Distancia de un plano y de una curva al origen
  209. Espacios normados
  210. Norrma, espacio normado
  211. Desigualdades de Young, Hölder y Minkowski
  212. Normas $p$
  213. Distancia inducida por la norma
  214. La distancia es uniformemente continua
  215. Series en espacios normados
  216. Normas equivalentes
  217. Normas no equivalentes
  218. Propiedades topológicas en los espacios normados
  219. Aplicaciones lineales continuas entre espacios normados
  220. Una aplicación lineal discontinua
  221. Espacios normados de dimensión finita
  222. Teorema de Riesz
  223. Norma de una aplicación lineal y continua
  224. Diferenciabilidad entre espacios de Banach
  225. Criterio de Dirichlet para la convergencia de series
  226. Criterio de Abel para la convergencia de series
  227. Espacio de funciones completo y no compacto
  228. Espacio de Banach de las funciones continuas con la norma del supremo
  229. Espacio de Banach $l^1(\mathbb{N})$
  230. Suma $\sum_{k=0}^\infty{(I-A)^k}$ en un espacio de matrices
  231. Desigualdad de Schwarz y norma en los espacios prehilbertianos
  232. Espacio prehilbertiano de las sucesiones finitamente no nulas
  233. Espacios $l_p$
  234. Análisis complejo
  235. Proyección estereográfica
  236. Derivada compleja
  237. Ecuaciones de Cauchy-Riemann
  238. Función exponencial compleja
  239. Funciones trigonométricas complejas
  240. Funciones hiperbólicas complejas
  241. Logaritmo complejo
  242. Funciones armónicas
  243. Función armónica conjugada
  244. Familia de funciones armónicas
  245. Polinomio de Hurwitz
  246. Funciones holomorfas f: Re (f) + Im (f) =1
  247. Principio del módulo máximo
  248. Lema de Schwarz
  249. Fórmulas integrales de Cauchy
  250. Demostración del teorema de Liouville (vídeo)
  251. Integral $\int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{a+b\cos \theta+c\sin\theta}$
  252. Integral de $\log^3 z dz/z$ en un arco de circunferencia
  253. Singularidades y residuos de $f(z)=\frac{\sin z}{z^3+z^2-z-1}$
  254. Singularidades y residuos de $f(z)=\frac{e^{1/z}}{z-1}$
  255. Singularidad y residuo en el origen de $f(z)=\frac{1}{2+z^2-2\cosh z}$
  256. Integral $ \int_{T}\bar{z}^2\;dz$ sobre una curva de Jordan
  257. Integral $ \int_{0}^{+\infty}(\cos x/\cosh x)\;dx $ por residuos
  258. Función holomorfa biperiódica
  259. Principio del argumento: ceros en Re (z) > 0
  260. Una integral con residuo en el punto del infinito
  261. Ceros de las funciones analíticas
  262. Series complejas: conceptos básicos
  263. Series complejas: criterios de la raíz y del cociente
  264. Series complejas enteras, radio de convergencia
  265. Fórmula de Cauchy-Hadamard
  266. Teorema de Pitagoras trigonométrico por series de potencias
  267. Ecuación funcional compleja
  268. Desarrollo en serie de Laurent
  269. Serie de Laurent con parámetros
  270. Recurrente compleja por serie de potencias
  271. Suma de series por residuos
  272. Familia de racionales complejas
  273. Teorema de Rouche
  274. Función holomorfa: representación integral
  275. Integral $ \int_0^{+\infty}x\;dx/((1+x)^n-(1-x)^n)$ por residuos
  276. Una aplicación de las desigualdades de Cauchy
  277. Un problema de Dirichlet
  278. Integrales de Fresnel
  279. Límite de promedios en un polígono regular
  280. Fórmula integral de Cauchy y matriz exponencial
  281. Polinomio de Lagrange-Sylvester, representación integral
  282. Transformado de un polinomio complejo
  283. Área de una imagen del círculo unidad
  284. Relación entre dos integrales por residuos
  285. Una integral trigonométrica en [$0, \pi ]$
  286. Integral $\int_0^{2\pi}\frac{\cos 3t}{1-2a\cos t+a^2}\;dt $
  287. Función entera y polinomio
  288. Integral $ \int_0^{+\infty}x^n\;dx/(x^{2n+1}+1) $
  289. Integral $\int_{0}^{+\infty}\frac{\log (x^2+1)}{x^2+1}dx$ por residuos
  290. Teorema de Casorati-Weierstrass: singularidades de $1/f$
  291. Función entera que es polinómica
  292. Derivabilidad de una función compleja como suma de dos series
  293. Existencia de ceros en el disco unidad
  294. Funciones holomorfas en un disco