Análisis real y complejo

Proporcionamos una colección de problemas resueltos de Análisis real y complejo. Se irán añadiendo otros sucesivamente.

    Método de inducción
  1. Descripción del método de inducción
  2. Derivada enésima de la función seno
  3. Desigualdad de Bernoulli
  4. Binomio de Newton
  5. Regiones determinadas por $n$ rectas del plano
  6. Sucesiones reales
  7. Concepto de sucesión
  8. Límite de una sucesión
  9. Propiedades de los límites
  10. Subsucesiones
  11. Sucesiones monótonas
  12. Límites infinitos
  13. Criterios de Stolz y de las medias aritmética y geométrica
  14. Sucesiones de números reales: problemas diversos
  15. Familia de sucesiones recurrentes
  16. Sucesión recurrente con límite raíz de a
  17. Continuidad
  18. Concepto de continuidad. Primeras propiedades
  19. Continuidad de las funciones elementales
  20. Continuidad de las funciones no elementales
  21. Continuidad en intervalos
  22. Continuidad uniforme
  23. Caracterización de la continuidad uniforme por sucesiones
  24. Teorema de Heine
  25. Continuidad en una variable: problemas diversos
  26. Funciones f-continuas
  27. Continuidad uniforme en espacios métricos por sucesiones
  28. Funciones monótonas, crecientes y decrecientes
  29. Derivadas
  30. Concepto de derivada
  31. Álgebra de derivadas
  32. Derivación de funciones algebraicas
  33. Derivación de funciones trigonométricas y circulares inversas
  34. Derivación de funciones exponenciales y logarítmicas
  35. Derivación de funciones hiperbólicas
  36. Derivación de funciones hiperbólicas inversas
  37. Derivación de funciones compuestas, regla de la cadena
  38. Derivadas: compendio de reglas y fórmulas
  39. Teorema de la función inversa
  40. Derivada de $ (g\circ f^{-1})’(6)$
  41. Derivada logarítmica
  42. Derivadas de órdenes superiores
  43. Fórmula de Leibniz de la derivada enésima
  44. Aplicaciones geométricas de la derivada
  45. Aplicaciones físicas de la derivada
  46. Derivadas infinitas y laterales
  47. Derivación de funciones implícitas
  48. Diferencial de una función
  49. Derivabilidad según parámetros
  50. Familia de funciones de clase 1
  51. Desigualdad y número de raíces
  52. Derivada simétrica
  53. Derivabilidad absoluta
  54. Ecuación diferencial y fórmula de Leibniz
  55. Funciones cumpliendo $f(x)-f(y)\le k_f\left|\operatorname{sen}x-\operatorname{sen}y\right|$
  56. Funciones cumpliendo $ f’(\lambda x) = f’(x)\sin x + f(x)\cos x$
  57. Puntos de inflexión de una familia de curvas
  58. Teoremas del valor medio
  59. Teorema de Rolle
  60. Teorema de Lagrange
  61. Teorema del valor medio de Cauchy
  62. Una aplicación del teorema de Rolle
  63. Diámetro de un subconjunto de R
  64. Límite de las raíces de $ p_n(x)=x^{n+2}-2x+1 $
  65. Recíproco del teorema del valor medio
  66. Fórmula de Taylor
  67. Polinomio de Taylor
  68. Fórmula de Taylor
  69. Aproximación de funciones por polinomios
  70. La notación o minúscula de Landau
  71. Fórmula de Taylor con o minúscula
  72. Una aplicación de la fórmula de Taylor
  73. Una aproximación racional de la raíz de 5
  74. Regla de L’Hôpital
  75. Límites de funciones por la definición
  76. Concepto de indeterminación
  77. Regla de L’Hôpital para 0/0
  78. Distintas formas indeterminadas
  79. Regla de L’Hôpital: problemas diversos
  80. $\lim_{x\to 0}x\lfloor 1/x\rfloor=0$ (vídeo)
  81. $L=\lim_{x \to{}0}{\frac{x^2 e^x}{5x-5e^x+5}}$ sin usar la regla de L’Hôpital
  82. Límite $L=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{x-\sin x}{x^3} $ por tres métodos
  83. Integrales indefinidas
  84. Integral de la función potencial
  85. Integrales inmediatas
  86. Integrales por sustitución o cambio de variable
  87. Integración por partes
  88. Integración de funciones racionales (1)
  89. Integración de funciones racionales (2)
  90. Integración de funciones racionales (3)
  91. Integración de funciones racionales, método de Hermite (4)
  92. Integración de funciones irracionales (1)
  93. Integración de funciones irracionales (2)
  94. Integración de funciones irracionales (3)
  95. Integración de funciones irracionales (4)
  96. Integración de diferenciales binomias
  97. Integración de funciones trigonométricas (1)
  98. Integración de funciones trigonométricas (2)
  99. Integración de funciones trigonométricas (3)
  100. Integración de funciones trigonométricas (4)
  101. Integración de funciones hiperbólicas
  102. Integrales indefinidas: problemas diversos
  103. Integrales definidas
  104. Integral definida como límite de sumas
  105. Cálculo de límites de sucesiones mediante integrales
  106. Teorema fundamental del Cálculo
  107. Regla de Barrow
  108. Propiedades de la integral definida
  109. Cotas de la longitud de una elipse.
  110. Pi es irracional
  111. Fórmula de Wallis
  112. Concepto de integral impropia en intervalos infinitos
  113. Criterios de convergencia de integrales impropias en intervalos infinitos
  114. Criterio de Cauchy para integrales impropias en intervalos infinitos
  115. Convergencia de las integrales de Fresnel
  116. Convergencia absoluta de integrales impropias en intervalos infinitos
  117. Valor principal de Cauchy de una integral impropia
  118. Integrales impropias en intervalos finitos
  119. Función Gamma de Euler
  120. Integral mediante las Gamma y Beta de Euler
  121. Convolución de dos campanas de Gauss
  122. Integral de Euler-Poisson
  123. Una integral por derivación paramétrica (1)
  124. Una integral por derivación paramétrica (2)
  125. Integral de Gauss o de probabilidades
  126. Derivación paramétrica y límite
  127. Cálculo de $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}e^{x^2}\int_{x-\frac{\log x}{2x}}^xe^{-t^2}dt.$
  128. Número combinatorio $\binom{2n}{n}$ e integral
  129. Igualdad integral $\displaystyle\int_{\pi}^{+\infty}\frac{\sin t}{t\log^2 t}dt=\int_{\pi}^{+\infty}\frac{\cos t}{\log t}dt$
  130. La función de Thomae es integrable Riemann en [0,1]
  131. Desigualdad de Jensen
  132. Series numéricas y funcionales
  133. Concepto de serie numérica real
  134. Convergencia y divergencia de series numéricas
  135. Esquemas de asociación de series
  136. Serie geométrica
  137. Álgebra de series
  138. Series de términos positivos
  139. Series absolutamente convergentes
  140. Criterios de la raíz, cociente y Raabe
  141. Criterio integral
  142. Convergencia de las series de Riemann
  143. Series alternadas, criterio de Leibniz
  144. Series telescópicas
  145. Series hipergeométricas
  146. Series aritmético-geométricas
  147. Series con factoriales en el denominador
  148. Suma de series numéricas por desarrollos en serie de funciones
  149. Series de Bertrand
  150. El número e es irracional
  151. Suma de una serie a partir de la de Basilea
  152. Producto de Cauchy de series, contraejemplo
  153. Límite puntual
  154. Convergencia uniforme de sucesiones de funciones
  155. Polinomios de Bernstein
  156. Teorema de Dini
  157. Series uniformemente convergentes. Criterio de Weierstrass
  158. Series enteras o de potencias, radio de convergencia
  159. Derivación e integración de series enteras
  160. Suma de series enteras por derivación o integración
  161. Serie de Maclaurin
  162. Desarrollos en serie de Maclaurin de las funciones habituales
  163. Función suave pero no analítica
  164. Convergencia uniforme en un intervalo no acotado
  165. Sucesión de Fibonacci
  166. Función exponencial real
  167. Sucesión funcional con límite Gamma (x)
  168. Producto de Cauchy de series igual a la unidad
  169. Suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n(n+1)}$
  170. Convergencia de una serie según parámetro
  171. Números armónicos y constante de Euler-Mascheroni
  172. Teorema de reordenación de Riemann
  173. Análisis multivariable
  174. Límites reiterados, contraejemplo
  175. Continuidad y derivadas direccionales
  176. Diferenciabilidad en varias variables
  177. Teorema del valor medio escalar
  178. Una derivada direccional máxima
  179. Diferencial de una composición
  180. Puntos de discontinuidad, compacidad
  181. Funciones homogéneas, teorema de Euler
  182. Teorema de la función inversa en $\mathbb{R}^n$
  183. Teorema de la función implícita en $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$
  184. Teorema de la función implícita en $\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^m$
  185. Puntos críticos, cados dudosos
  186. Puntos críticos de $ f(x,y)=\sum_{k=0}^{\infty}(xy)^k $
  187. Máximos y mínimos condicionados. Multiplicadores de Lagrange
  188. Paralelepípedo inscrito en un elipsoide
  189. Extremos absolutos sobre compactos
  190. Puntos críticos de $g(x,y)=p(f(x))+p(f(y))$
  191. Extremos locales de una integral biparamétrica
  192. Continuidad uniforme y teorema de Tychonoff
  193. Integral doble como producto de simples
  194. Integral en el cubo unidad
  195. Integral de superficie de una función homogénea
  196. Integral doble impropia por un cambio ortogonal
  197. Integral doble impropia con parámetros
  198. Teoremas de Stokes y Gauss: comprobación
  199. Flujo y circulación de un campo
  200. Centro de gravedad de una esfera
  201. Móviles sobre dos circunferencias
  202. Circulación de un campo y producto mixto
  203. Potencial de un campo con función homogénea
  204. Un campo gradiente
  205. Desarrollo de Taylor de orden $n$ de $f(x,y)=\log (x+y)$
  206. Extremos de $f:\left(\mathbb{R}^+\right)^3\to \mathbb{R},$ $f(x,y,z)=x^my^nz^p$ sobre un plano
  207. Integral triple $\iiint_Tx^my^nz^p(1-x-y-z)^qdxdydz$
  208. Máximo de $ f(x_1,\ldots,x_n)=\sum_{i=1}^n{\log(1+x_i)}$ con $\sum_{i=1}^nx_i=a$
  209. Distancia de un plano y de una curva al origen
  210. Espacios normados
  211. Norrma, espacio normado
  212. Desigualdades de Young, Hölder y Minkowski
  213. Normas $p$
  214. Distancia inducida por la norma
  215. La distancia es uniformemente continua
  216. Series en espacios normados
  217. Normas equivalentes
  218. Normas no equivalentes
  219. Propiedades topológicas en los espacios normados
  220. Aplicaciones lineales continuas entre espacios normados
  221. Una aplicación lineal discontinua
  222. Espacios normados de dimensión finita
  223. Teorema de Riesz
  224. Norma de una aplicación lineal y continua
  225. Diferenciabilidad entre espacios de Banach
  226. Criterio de Dirichlet para la convergencia de series
  227. Criterio de Abel para la convergencia de series
  228. Espacio de funciones completo y no compacto
  229. Espacio de Banach de las funciones continuas con la norma del supremo
  230. Espacio de Banach $l^1(\mathbb{N})$
  231. Suma $\sum_{k=0}^\infty{(I-A)^k}$ en un espacio de matrices
  232. Desigualdad de Schwarz y norma en los espacios prehilbertianos
  233. Espacio prehilbertiano de las sucesiones finitamente no nulas
  234. Espacios $l_p$
  235. Análisis complejo
  236. Proyección estereográfica
  237. Derivada compleja
  238. Ecuaciones de Cauchy-Riemann
  239. Función exponencial compleja
  240. Funciones trigonométricas complejas
  241. Funciones hiperbólicas complejas
  242. Logaritmo complejo
  243. Funciones armónicas
  244. Función armónica conjugada
  245. Familia de funciones armónicas
  246. Polinomio de Hurwitz
  247. Funciones holomorfas f: Re (f) + Im (f) =1
  248. Principio del módulo máximo
  249. Lema de Schwarz
  250. Fórmulas integrales de Cauchy
  251. Demostración del teorema de Liouville (vídeo)
  252. Integral $\int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{a+b\cos \theta+c\sin\theta}$
  253. Integral de $\log^3 z dz/z$ en un arco de circunferencia
  254. Singularidades y residuos de $f(z)=\frac{\sin z}{z^3+z^2-z-1}$
  255. Singularidades y residuos de $f(z)=\frac{e^{1/z}}{z-1}$
  256. Singularidad y residuo en el origen de $f(z)=\frac{1}{2+z^2-2\cosh z}$
  257. Integral $ \int_{T}\bar{z}^2\;dz$ sobre una curva de Jordan
  258. Integral $ \int_{0}^{+\infty}(\cos x/\cosh x)\;dx $ por residuos
  259. Función holomorfa biperiódica
  260. Principio del argumento: ceros en Re (z) > 0
  261. Una integral con residuo en el punto del infinito
  262. Ceros de las funciones analíticas
  263. Series complejas: conceptos básicos
  264. Series complejas: criterios de la raíz y del cociente
  265. Series complejas enteras, radio de convergencia
  266. Fórmula de Cauchy-Hadamard
  267. Teorema de Pitagoras trigonométrico por series de potencias
  268. Ecuación funcional compleja
  269. Desarrollo en serie de Laurent
  270. Serie de Laurent con parámetros
  271. Recurrente compleja por serie de potencias
  272. Suma de series por residuos
  273. Familia de racionales complejas
  274. Teorema de Rouche
  275. Función holomorfa: representación integral
  276. Integral $ \int_0^{+\infty}x\;dx/((1+x)^n-(1-x)^n)$ por residuos
  277. Una aplicación de las desigualdades de Cauchy
  278. Un problema de Dirichlet
  279. Integrales de Fresnel
  280. Límite de promedios en un polígono regular
  281. Fórmula integral de Cauchy y matriz exponencial
  282. Polinomio de Lagrange-Sylvester, representación integral
  283. Transformado de un polinomio complejo
  284. Área de una imagen del círculo unidad
  285. Relación entre dos integrales por residuos
  286. Una integral trigonométrica en [$0, \pi ]$
  287. Integral $\int_0^{2\pi}\frac{\cos 3t}{1-2a\cos t+a^2}\;dt $
  288. Función entera y polinomio
  289. Integral $ \int_0^{+\infty}x^n\;dx/(x^{2n+1}+1) $
  290. Integral $\int_{0}^{+\infty}\frac{\log (x^2+1)}{x^2+1}dx$ por residuos
  291. Teorema de Casorati-Weierstrass: singularidades de $1/f$
  292. Función entera que es polinómica
  293. Derivabilidad de una función compleja como suma de dos series
  294. Existencia de ceros en el disco unidad
  295. Funciones holomorfas en un disco