Anillo idempotente

Estudiamos algunas propiedades del anillo idempotente.

Enunciado
Sea $(A,+,\cdot)$ un anillo idempotente, es decir un anillo que satisface $x^2=x$ para todo $x\in A.$
1. Demostrar que el anillo es conmutativo.
2. Estudiar la ley interna sobre $A$ definida por $x*y=x+y+xy$.
3. Demostrar que $x\leq y\Leftrightarrow xy=x$ es una relación de orden sobre $A$.
4. ¿Existe elemento mínimo en $(A,\leq)$?

Solución
1. Como el anillo es idempotente, se verifica $(x+y)^2=x+y\;\;\forall{x}\forall{y}\in A$. Entonces:

$\displaystyle\begin{aligned}
(x+y)^2&=(x+y)(x+y)\\
&=x^2+xy+yx+y^2\\
&=x+xy+yx+y\\
&\Rightarrow x+y=x+xy+yx+y\\
&\Rightarrow xy+yx=0\\
&\Rightarrow xy=-yx.
\end{aligned}$

Para todo $u\in A$ y haciendo $x=y=u$, la última igualdad se transforma en $u^2=-u^2$ o de forma equivalente, $u=-u$, lo cual implica que $xy=yx$ para todo $x,y$ elementos de $A$. Concluimos que el anillo es conmutativo.

2. Para todo $x,y,z$ elementos de $A:$

$\displaystyle\begin{aligned}
(x*y)*z&=(x+y+xy)*z\\
&=x+y+xy+z+xz+yz+xyz,
\end{aligned}$

$\displaystyle\begin{aligned}
x*(y*z)&=x*(y+z+yz)\\
&=x+y+z+yz+xy+xz+xyz.
\end{aligned}$

Es decir, la operación $*$ es asociativa. Para todo $x,y$ elementos de $A$ y teniendo en cuenta que el anillo es conmutativo:

$x*y=x+y+xy=y+x+yx=y*x,$

lo cual implica que la operación $*$ es conmutativa. Para todo $x\in A:$

$x*0=0*x=x+0+0x=x.$

Es decir, $0$ es elemento neutro de $*$. Sea ahora $x\in A$ y supongamos que tiene elemento simétrico $x’$ con respecto de la operación $*$. Esto implica que $x*x’=x’*x=0$ o equivalentemente $x*x’=0$ por la propiedad conmutativa. Entonces, usando que $u=-u:$

$\displaystyle\begin{aligned}
x*x’=0&\Rightarrow x+x’+xx’=0\\
& \Rightarrow x(x+x’+xx’)=x0\\
& \Rightarrow x^2+xx’+x^2x’=0\\
& \Rightarrow x+xx’+xx’=0\\
& \Rightarrow x=0.
\end{aligned}$

Es decir, el único elemento que tiene simétrico, respecto de la operación $*$ es su neutro. Concluimos que $(A,*)$ es un semigrupo conmutativo con elemento neutro.

3. Para todo $x\in A$ se verifica $xx=x^2=x$, y por tanto $x\leq x$, es decir se cumple la propiedad reflexiva. Usando que el anillo es conmutativo:

$\left \{ \begin{matrix}x\leq y\\ y\leq x\end{matrix}\right. \Rightarrow \left \{ \begin{matrix}xy=x\\ yx=y\end{matrix}\right. \Rightarrow x=y.$

Se cumple por tanto la propiedad antisimétrica. Por otra parte

$\left \{ \begin{matrix}x\leq y\\ y\leq z\end{matrix}\right. \Rightarrow \left \{ \begin{matrix}xy=x\\ yz=y\end{matrix}\right. \Rightarrow xyz=x \Rightarrow xz=z \Rightarrow x\leq z,$

es decir, se cumple la propiedad transitiva. Concluimos que $\leq$ es relación de orden sobre $A$.

4. Para todo $x\in A$ se verifica $0x=0$ o de forma equivalente $0\leq x$ para todo $x\in A$. Por tanto $0$ es elemento mínimo en $(A,\leq)$.