Binomio de Newton

Demostramos por inducción la fórmula del binomio de Newton.

Enunciado
Sean $a$ y $b$ dos números reales. Demostrar por inducción que para todo $n\geq 1$ entero, se verifica la fórmula del binomio de Newton: $$(a+b)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}b^k.$$

Solución
Paso base. La fórmula es cierta para $n=1.$ En efecto, $$(a+b)^1=a+b=\binom{1}{0}a^1b^0+\binom{1}{1}a^0b^1=\sum_{k=0}^1\binom{1}{k}a^{1-k}b^k.$$Paso de inducción. Supongamos que la fórmula es cierta para $n,$ y veamos que es cierta para $n+1.$ Se verifica: $$\begin{aligned}(a+b)^{n+1}&=(a+b)(a+b)^{n}\\
&=a\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}b^k+b\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}b^k\\
&=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k+1}b^k+\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}b^{k+1}.\quad (*)
\end{aligned}$$ El primer sumando de la linea $(*)$ se puede expresar en la forma
$$\begin{aligned}\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k+1}b^k&=\binom{n}{0}a^{n+1}b^0+\sum_{k=1}^n\binom{n}{k}a^{n-k+1}b^k \\
&=\binom{n+1}{0}a^{n+1}b^0+\sum_{k=1}^n\binom{n}{k}a^{n-k+1}b^k.
\end{aligned}$$ El segundo sumando de la linea $(*)$ se puede expresar en la forma $$\begin{aligned}\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}b^{k+1}&=\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n}{k}a^{n-k}b^{k+1}+\binom{n+1}{n+1}a^0b^{n+1}\\
&(\text{haciendo el cambio } k=j-1):\\
&=\sum_{j=1}^{n}\binom{n}{j-1}a^{n+1-j}b^{j}+\binom{n+1}{n+1}a^0b^{n+1}.
\end{aligned}$$ Por tanto, $(a+b)^{n+1}$ es igual a:
$$\binom{n+1}{0}a^{n+1}b^0+\sum_{k=1}^{n}\left[\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}\right]a^{n+1-k}b^k+\binom{n+1}{n+1}a^0b^{n+1}.$$ Usando la conocida fórmula de combinatoria $\displaystyle\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}=\binom{n+1}{k}:$ $$\begin{aligned}(a+b)^{n+1}&=\binom{n+1}{0}a^{n+1}b^0+\sum_{k=1}^{n}\binom{n+1}{k}a^{n+1-k}b^k+\binom{n+1}{n+1}a^0b^{n+1}\\
&=\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}a^{n+1-k}b^k.
\end{aligned}$$ Es decir, la fórmula es cierta para $n+1.$