Ecuaciones de Cauchy-Riemann

Proporcionamos ejercicios de aplicación de las ecuaciones de Cauchy Riemann.

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Demostrar que la función $f(z)=\lambda \bar{z}$ con $\lambda\neq 0$ constante real no es derivable en ningún punto de $\mathbb{C}.$
  2. Determinar los puntos del plano complejo para los cuales es derivable la función $f(z)=\left|z\right|\; \textrm{Re}\bar{z}$.
  3. Demostrar que si $f(z)=e^z$ entonces $f’(z)=e^z$ para todo $z$ del plano complejo.
    Solución
  1. Tenemos $ u=\lambda x,\;v=-\lambda y$. Para todo punto del plano complejo $ u_x=\lambda$ y $\;v_y=-\lambda.$ Como en todo punto del plano complejo $u_x\neq v_y$, no se cumplen las ecuaciones de Cauchy Riemann y por tanto $f$ no es derivable en ningún punto de $\mathbb{C}$.
  2. $f(z)=x\sqrt{x^2+y^2}$, por tanto $u=x\sqrt{x^2+y^2},\;v=0$. Si $(x,y)\neq (0,0)$ $$u_x=\dfrac{2x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}\;,\;u_y=\dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}\;,\;v_x=0\;,\;v_y=0.$$ Entonces $u_x\neq 0$ lo cual implica $u_x\neq v_y$, es decir $f$ no es derivable en $z=x+iy$ si $(x,y)\neq (0,0)$. Analicemos si es derivable en $z=0:$ $$u_x(0,0)=\displaystyle\lim_{h \to 0}{\displaystyle\frac{u(h,0)-u(0,0)}{h}}=\displaystyle\lim_{h \to 0}{\displaystyle\frac{h\sqrt{h^2}}{h}}=0$$ $$ u_y(0,0)=\displaystyle\lim_{h \to 0}{\displaystyle\frac{u(0,h)-u(0,0)}{h}}=\displaystyle\lim_{h \to 0}{\displaystyle\frac{0}{h}}=\displaystyle\lim_{h\to 0}{0}=0.$$ Las funciones $ u_x,\;u_y,\;v_x,\:v_y $ son por tanto $$ u_x=\left \{ \begin{matrix} \dfrac{2x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2}} & \mbox{ si }& (x,y)\neq (0,0)\\0 & \mbox{si}& (x,y)=(0,0)\end{matrix}\right. $$ $$ u_y= \left \{ \begin{matrix}\dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} & \mbox{ si }& (x,y)\neq (0,0)\\0 & \mbox{si}& (x,y)=(0,0)\end{matrix}\right.$$ $$ v_x=v_y=0\;, \quad \forall (x,y)\in\mathbb{R}^2.$$ Usando coordenadas polares fácilmente verificamos que $$\lim_{(x,y) \to (0,0)}u_x=0=u_x(0,0),\quad \lim_{(x,y) \to (0,0)}u_y=0=u_y(0,0),$$ es decir se cumplen las condiciones suficientes del Teorema 2, en consecuencia $f$ es derivable en $z=0$ y además $$f’(0)=u_x(0,0)+iv_x(0,0)=0+0i=0.$$
  3. Tenemos $e^z=e^x(\cos y+i\sin y)$, por tanto $u=e^x\cos y,\;v=e^x\sin y$. Además, $$u_x=e^x\cos y,\;u_y=-e^x\sin y,\;v_x=e^x\sin y,\;v_y=e^x\cos y.$$ Estas parciales son continuas en todo $\mathbb{R}^2$ y verifican las ecuaciones de Cauchy-Riemann, por tanto $f$ es derivable en todo el plano complejo y su derivada es $$f’(z)=u_x+iv_x=e^x\cos y+ie^x\sin y=e^z.$$
Esta entrada fue publicada en Miscelánea matemática. Guarda el enlace permanente.