Concepto de conjunto

Proporcionamos ejercicios sobre el concepto de conjunto, y un anexo teórico.

Enunciado
1. Escribir por extensión $A=\{x:x\mbox{ es raíz de }p(x)=x^2-7x+12\}.$
2. Escribir por comprensión $B=\{3,4,5,6,7\}.$
3. Analizar si son iguales los siguientes pares de conjuntos
${}\qquad (a)\;$ $A=\{a,2,3\},\quad B=\{3,3,2,a\}.$
${}\qquad (b)\;$ $C=\{\mbox{verde, rojo}\},\quad D=\{x:x\mbox{ es color del arco iris}\}.$
4. Escribir por comprensión los conjuntos $$A=\{-1,-3,-5,-7.-9,\ldots\},\quad B=\{4,8,12,16,20,\ldots\}.$$ 5. Definir por extensión el conjunto $S=\{x\in\mathbb{R}:x^3-x^2=0\}$.
6. Sean $a,b,c,d$ elementos de un conjunto $X.$ Demostrar que $\left\{\{a\},\{a,b\}\right\}=\left\{\{c\},\{c,d\}\right\}$ si y solamente si $a=c$ y $b=d$.

Solución
1. Hallemos las raíces de la ecuación dada $$x=\frac{7\pm\sqrt{49-48}}{2}=\frac{7\pm 1}{2}\Leftrightarrow x=4\text{ o }x=3.$$ Es decir, $A=\{3,4\}.$

2. Los elementos de $B$ son los números naturales mayores o iguales que $3$ y menores o iguales que $7$. Por tanto: $$B=\{x:x\text{ es número natural con }3\leq x\leq 7\}.$$ 3. $(a)$ Todo elemento que pertenece a $A$, pertenece a $B$ y todo elemento que pertenece a $B$, pertenece a $A$, lo cual implica que $A=B.$ Nótese que es irrelevante el que se repita la escritura de algún elemento.
$(b)$ Todo elemento que pertenece a $C$, pertenece a $D$. Sin embargo, no todo elemento que pertenece a $D$ pertenece a $C$ (por ejemplo, el color azul). Concluimos que $C\neq D$.

4. El conjunto $A$ está formado por los números impares negativos y el $B$ por los múltiplos de $4$ positivos, por tanto: $$A=\{x:x\text{ es entero impar negativo}\},\;B=\{x:x\text{ es múltiplo positivo de 4}\}.$$ 5. Los elementos de $S$ son los números reales que cumplen $x^3-x^2=0$ o de forma equivalente $x^2(x-1)=0$, cuyas soluciones son $x=0$, $x=1$. Por tanto $S=\{0,1\}$.

6. Tenemos que demostrar $$\left\{\{a\},\{a,b\}\right\}=\left\{\{c\},\{c,d\}\right\}\Leftrightarrow a=c\text{ y }b=d.$$ $\Leftarrow)$ Si $a=b$ y $c=d$, trivialmente $\left\{\{c\},\{c,d\}\right\}=\left\{\{a\},\{a,b\}\right\}$

$\Rightarrow)$ Por hipótesis $$\left\{\{a\},\{a,b\}\right\}=\left\{\{c\},\{c,d\}\right\}.\quad (1)$$ Analizamos dos casos:

Caso 1: $a\neq b$. En éste caso, $\{a\}\neq \{a,b\}$. Entonces, el conjunto de la derecha en $(1)$ ha de tener dos elementos, lo cual implica que $c\neq d$. Sólo se puede verificar la igualdad $(1)$ si $\{a\}=\{c\}$ y $\{a,b\}=\{c,d\}$, por tanto $a=c$ y $b=d$.
Caso 2: $a= b$. En éste caso, $\{a\}= \{a,b\}$. Entonces, el conjunto de la derecha en $(1)$ ha de tener un único elemento, es decir ha de ser $\{c\}=\{c,d\}$. Esto último implica que $c=d$.

ANEXO TEÓRICO
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