Concepto de relación binaria

Proporcionamos ejercicios sobres el concepto de relación binaria.

Enunciado
1. Analizar si son reflexivas las relaciones en $A=\{a,b,c\}:$ $$R=\{(a,a),(b,b),(c,c),(b,a)\},\quad S=\{(a,b),(b,b),(c,a)\}.$$ 2. Analizar si son simétricas las relaciones:
$a)$ En el conjunto de las rectas del plano, $rRs$ $\Leftrightarrow$ $r$ es perpendicular a $s.$
$b)$ En $\mathbb{Z},$ $xRy\Leftrightarrow x\leq y.$

3. Analizar si son transitivas las relaciones:
$a)$ En $\mathbb{Z},$ $xRy\Leftrightarrow x\leq y.$
$b)$ En $A=\{1,2,3\},$ $R=\{(1,2),(2,3),(1,1)\}.$

4. Analizar si son antisimétricas las relaciones:
$a)$ En $\mathbb{Z},$ $xRy\Leftrightarrow x\leq y.$
$b)$ En $\mathbb{R},$ $xRy\Leftrightarrow\left |x\right|=\left|y\right|.$

5. En el conjunto $\mathcal{P}(U)$ (partes de $U$), se define la relación $ARB\Leftrightarrow A\subset B.$ Estudiar cuales de las siguientes propiedades cumple: reflexiva, simétrica, transitiva, antisimétrica.

6. En el conjunto $\mathbb{R}$ se define la relación $xRy\Leftrightarrow \left|x\right|=\left|y\right|.$ Estudiar cuales de las siguientes propiedades cumple: reflexiva, simétrica, transitiva, antisimétrica.

7. Sea $R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(2,1),(1,2),(2,3)\}$ una relación definida en $A=\{1,2,3,4\}.$ Estudiar cuales de las siguientes propiedades cumple: reflexiva, simétrica, transitiva, antisimétrica.

Solución
1. La relación $R$ es reflexiva pues para todo $x\in A$ se verifica $xRx.$ Sin embargo, la relación $S$ no es reflexiva pues por ejemplo $a\not Ra.$

2. $a)$ Es simétrica, pues si $r$ es perpendicular a $s$ entonces $s$ es perpendicular a $r.$ Es decir, $rRs.$ implica $sRr.$

$b)$ No es simétrica, pues por ejemplo $0R1$, pero $1\not R 0.$

3. $a)$ Es transitiva pues si $xRy$ e $yRz$, entonces $x\leq y$ e $y\leq z$ y por tanto $x\leq z.$ Es decir $xRz.$

$b)$ No es transitiva pues por ejemplo $1R2,$ $2R3,$ y $1\not R 3.$

4. $a)$ Es antisimétrica pues si $xRy$ e $yRx$, entonces $x\leq y$ e $y\leq x$ y por tanto $x=y.$
$b)$ No es antisimétrica, pues por ejemplo $(-1)R1,$ $1R(-1)$ y sin embargo, $-1\neq 1.$

5. Reflexiva. Se cumple, pues para todo $A\in \mathcal{P}(U)$ se verifica $A\subset A.$
Simétrica. No se verifica, si $A\subset B$ con $A\neq B$, entonces $B\not\subset A.$
Transitiva. Se cumple, si $A\subset B$ y $B\subset C$, entonces $A\subset C.$
Antisimétrica. Se cumple, si $A\subset B$ y $B\subset A$ entonces $A=B.$

6. Reflexiva. Se cumple, pues para todo $x\in \mathbb{R}$ se verifica $|x|=|x|.$
Simétrica. Se cumple, pues si $|x|=|y|$ entonces $|y|=|x|.$
Transitiva. Se cumple, pues si $|x|=|y|$ y $|y|=|z|$ entonces $|x|=|z|.$
Antisimétrica. No se verifica, por ejemplo $|-1|=|1|$, $|1|=|-1|$ y sin embargo $-1\neq 1.$

7. Reflexiva. No se verifica, pues $4\not R 4.$
Simétrica. No se verifica, pues $2R3$ pero $3\not R 2.$
Transitiva. No se verifica, pues $1R2$ y $2R3$ pero $1\not R 3.$
Antisimétrica. No se verifica, pues $1R2,$ $2R1$ pero $1\neq 2.$

ANEXO TEÓRICO
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