Descripción del método de inducción

Describimos y proponemos ejercicios sobre el método de inducción.

    Enunciado
  1. Demostrar por inducción: $1+2+3+\ldots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}.$
  2. Demostrar por inducción: $\begin{bmatrix}{1}&{1}\\{0}&{1}\end{bmatrix}^n=\begin{bmatrix}{1}&{n}\\{0}&{0}\end{bmatrix}.$
  3. Demostrar por inducción: $1^2+2^3+3^2+\ldots+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$
  4. Demostrar por inducción: $1+r+r^2+\ldots+r^n=\dfrac{1-r^{n+1}}{1-r}\quad (r\neq 1).$
  5. Demostrar por inducción: $\displaystyle\sum _{k=1}^n k(k+1)=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}.$
  6. Demostrar por inducción: $\displaystyle\sum _{k=1}^n k^3=\left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^2.$
  7. Demostrar por inducción: $1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\ldots +\dfrac{1}{2^n}\geq 1+\dfrac{n}{2}.$
  8. Demostrar por inducción que si $u_n$ es la sucesión definida por $$u_1=3,\;u_2=5,\;u_n=3u_{n-1}-2u_{n-2}\quad \forall n\ge 3$$ entonces, $u_n=2^n+1\quad \forall n\in\mathbb{Z}^+.$
  9. Demostrar por inducción que para todo número natural $n\ge 1$ se verifica que $\dfrac{1}{3}(n^3+2n)$ es un número entero.
    Solución
    Recordamos que la inducción matemática es un método para demostrar que todos los números naturales $1,2,3,\ldots$ cumplen una determinada propiedad. Consta de dos pasos:
    Paso base. Consiste en demostrar que el numero $1$ cumple la propiedad.
    Paso de inducción. Se supone que la propiedad es verdadera para un cierto número $n$ número natural arbitrario (hipótesis de inducción), y se demuestra que la propiedad es válida para el número siguiente $n+1.$
    Si se efectúan los dos pasos anteriores, se ha demostrado que la propiedad es válida para todos los números naturales $1,2,3,\ldots.$
    Un ejemplo comprensivo del método consiste en considerar una fila de fichas de dominó. Si demostramos: que se cae la primera ficha, y que si se una ficha (la ficha $n$) se cae la siguiente (la ficha $n+1$), entonces hemos demostrado que se caen todas las fichas $1,2,3,\ldots.$
  1. Paso base. Para $n=1$, el primer miembro es $1$ y el segundo, $1(1+1)/2=1$. Por tanto, la fórmula es cierta para $n=1$.

    Paso de inducción. Sea la fórmula cierta para $n$. Entonces: $$1+2+3+\ldots+n+(n+1)=\dfrac{n(n+1)}{2}+(n+1)\\
    =\dfrac{n(n+1)}{2}+\dfrac{2(n+1)}{2}=\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}=\dfrac{(n+1)[(n+1)+1]}{2}.$$ Es decir, la fórmula es válida para $n+1$.

  2. Paso base. Para $n=1$, el primer miembro es $\begin{bmatrix}{1}&{1}\\{0}&{1}\end{bmatrix}^1=\begin{bmatrix}{1}&{1}\\{0}&{0}\end{bmatrix}$ y el segundo, $\begin{bmatrix}{1}&{1}\\{0}&{0}\end{bmatrix}$. Por tanto, la fórmula es cierta para $n=1$.

    Paso de inducción. Sea la fórmula cierta para $n$. Entonces: $$\begin{bmatrix}{1}&{1}\\{0}&{1}\end{bmatrix}^{n+1}=\begin{bmatrix}{1}&{1}\\{0}&{1}\end{bmatrix}^{n}\begin{bmatrix}{1}&{1}\\{0}&{1}\end{bmatrix}\\
    =\begin{bmatrix}{1}&{n}\\{0}&{0}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{1}&{1}\\{0}&{1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{1}&{n+1}\\{0}&{0}\end{bmatrix}.$$ Es decir, la fórmula es válida para $n+1$.

  3. Paso base. Para $n=1$, el primer miembro es $1^2=1$ y el segundo: $$\dfrac{1(1+1)(2\cdot1+1)}{6}=1.$$ Por tanto, la fórmula es cierta para $n=1$.
    Paso de inducción. Sea la fórmula cierta para $n$. Entonces: $$1^2+2^3+3^2+\ldots+n^2+(n+1)^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2\\
    =\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\dfrac{6(n+1)^2}{6}=\dfrac{(n+1)[n(2n+1)+6(n+1)]}{6}\\
    =\dfrac{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6}.\qquad (1)$$ Nos interesa expresar el numerador como producto de tres factores, para ello factorizamos $2n^2+7n+6:$ $$2n^2+7n+6=0\Leftrightarrow n=\dfrac{-7\pm \sqrt{1}}{4}=\{-3/2,-2\}.$$ Entonces, $$2n^2+7n+6=2\left(n+2\right)\left(n+\dfrac{3}{2}\right)=(n+2)(2n+3)\\
    =[(n+1)+1][2(n+1)+1].\qquad (2)$$ Combinando $(1)$ y $(2):$ $$1^2+2^3+3^2+\ldots+n^2+(n+1)^2=\dfrac{(n+1)[(n+1)+1][2(n+1)+1]}{6}.$$ Es decir, la fórmula es válida para $n+1.$
  4. Paso base. Para $n=1$, el primer miembro es $1+r$ y el segundo: $$\dfrac{1-r^2}{1-r}=\dfrac{(1+r)(1-r)}{1-r}=1+r,$$ por tanto la fórmula es cierta para $n=1$.

    Paso de inducción. Sea cierta la fórmula para $n$. Entonces: $$1+r+r^2+\ldots+r^n+r^{n+1}=\dfrac{1-r^{n+1}}{1-r}+r^{n+1}\\
    =\dfrac{1-r^{n+1}+r^{n+1}-r^{n+2}}{1-r}=\dfrac{1-r^{n+2}}{1-r}=\dfrac{1-r^{(n+1)+1}}{1-r}.$$ Es decir, la fórmula es válida para $n+1$.

  5. Paso base. Para $n=1$, el primer miembro es $$\displaystyle\sum _{k=1}^1k(k+1)=1(1+1)=2,$$ y el segundo $\dfrac{1(1+1)(1+2)}{3}=2,$ por tanto la fórmula es cierta para $n=1$.

    Paso de inducción. Sea cierta la fórmula para $n$. Entonces:$$\displaystyle\sum _{k=1}^{n+1} k(k+1)=\displaystyle\sum _{k=1}^n k(k+1)+(n+1)(n+2)\\=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}+(n+1)(n+2)\\
    =\dfrac{n(n+1)(n+2)+3(n+1)(n+2)}{3}=\dfrac{(n+1)(n+1)(n+3)}{3}\\
    =\dfrac{[n+1][(n+1)+1][(n+1)+2]}{3}.$$ Es decir, la fórmula es válida para $n+1$.

  6. Paso base. Para $n=1$, el primer miembro es $\displaystyle\sum _{k=1}^1k^3=1^3=1,$
    y el segundo $\left(\dfrac{1(1+1)}{2}\right)^2=1^2=1,$ por tanto la fórmula es cierta para $n=1$.

    Paso de inducción. Sea cierta la fórmula para $n$. Entonces: $$\displaystyle\sum _{k=1}^{n+1} k^3=\displaystyle\sum _{k=1}^n k^3+(n+1)^3=\left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^2+(n+1)^3\\
    =(n+1)^2\left( \dfrac{n^2}{4}+n+1\right)=(n+1)^2\dfrac{n^2+4n+4}{4}=\\
    =(n+1)^2\dfrac{(n+2)^2}{4}=\left(\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}\right)^2.$$ Es decir, la fórmula es válida para $n+1$.

  7. Paso base. Si $ n=1 $ el primer miembro de la desigualdad es $ 1+\dfrac{1}{2^1}=1+\dfrac{1}{2} $ y el segundo es $ 1+\dfrac{1}{2} $ de lo cual se deduce trivialmente que la desigualdad es cierta para $ n=1 $.

    Paso de inducción.Supongamos que la fórmula es cierta para $ n $. Veamos que es cierta para $ n+1 $. Para $ n+1 $ el primer miembro es: $$ A=\left(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\ldots +\dfrac{1}{2^n}\right)+\left(\dfrac{1}{2^n+1}+\dfrac{1}{2^n+2}+\ldots+\dfrac{1}{2^{n+1}}\right).$$ Por hipótesis de inducción tenemos $1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\ldots +\dfrac{1}{2^n}\geq 1+\dfrac{n}{2} $. Por otra parte $$ B=\dfrac{1}{2^n+1}+\dfrac{1}{2^n+2}+\ldots+\dfrac{1}{2^{n+1}}\geq \dfrac{1}{2^{n+1}}+\dfrac{1}{2^{n+1}}+\ldots+\dfrac{1}{2^{n+1}}.\quad (*) $$ En el segundo miembro de $ (*) $ tenemos $ 2^{n+1}-2^n=2^n(2-1)=2^n $ sumandos, en consecuencia $ B\geq 2^n\cdot \dfrac{1}{2^{n+1}}=\dfrac{1}{2} $. Es decir $$ A\geq 1+\dfrac{n}{2}+\dfrac{1}{2}=1+\dfrac{n+1}{2} .$$ Por tanto, la desigualdad es válida para $ n+1 .$

  8. Claramente la fórmula es cierta para $n=1,2.$ Si es cierta para todo $k\le n,$ entonces $$u_{n+1}=3u_n-2u_{n-1}=3(2^n+1)-2(2^{n-1}+1)$$ $$=3\cdot 2^n-2^n+1=2\cdot 2^n+1=2^{n+1}+1,$$ lo cual implica que la fórmula es cierta para $n+1.$
  9. Para $n=1$ tenemos $\dfrac{1}{3}(n^3+2n)=1$ entero. Supongamos ahora que $\dfrac{1}{3}(n^3+2n)\in \mathbb{Z}.$ Entonces, $$\dfrac{(n+1)^3+2(n+1)}{3}=\dfrac{n^3+3n^2+3n+1+2n+2}{3}$$ $$=\dfrac{n^3+2n}{3}+\dfrac{3n^2+3n+3}{3}=\underbrace{\dfrac{n^3+2n}{3}}_{\in\mathbb{Z}}+\underbrace{n^2+n+1}_{\in\mathbb{Z}}\in\mathbb{Z}.$$
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