Inclusión de conjuntos. Conjunto vacío

Proporcionamos ejercicios sobre inclusión de conjuntos y conjunto vacío y un anexo teórico.

Enunciado
1. Se considera el conjunto $A=\{a,b,c\}.$ Escribir todos los subconjuntos de $A.$
2. Un subconjunto $A$ de $B$ se dice que es propio si existe al menos un elemento de $B$ que no pertenece a $A.$ Escribir todos los subconjuntos propios de $M=\{1,2\}.$
3. Demostrar que el conjunto vacío es único.
4. Sea $X$ un conjunto. Al conjunto $\emptyset_X=\{x\in X:x\neq x\}$ se le llama subconjunto vacío de $X$ (y claramente no contiene elemento alguno). Demostrar que para dos conjuntos cualesquiera $X$ e $Y$ se verifica $\emptyset_X=\emptyset_Y.$

Solución
1. El conjunto vacío y $A$ son subconjuntos de $A$. Los subconjuntos de $A$ con un elemento son $\{a\}$, $\{b\}$ y $\{c\}$, y con dos elementos son $\{a,b\}$, $\{a,c\}$ y $\{b,c\}$. Por tanto, todos los subconjuntos de $A$ son: $$\emptyset,\;\{a\},\; \{b\},\;\{c\},\;\{a,b\},\;\{a,c\},\;\{b,c\},\;A.$$ 2. Los subconjuntos de $M$ son $\emptyset$, $\{1\}$, $\{2\}$ y $M=\{1,2\}$. De la definición dada, inmediatamente se deduce que los subconjuntos propios de $M$ son $\emptyset$, $\{1\}$ y $\{2\}$.

3. Si $\emptyset$ y $\emptyset’$ son conjuntos vacíos, se verifica $\emptyset\subset \emptyset’$ y $\emptyset’\subset \emptyset,$ luego $\emptyset= \emptyset’.$

4. Recordemos que si $P$ y $Q$ son dos proposiciones, $P\Rightarrow Q$ significa “no $P$ y $Q$”, en consecuencia, $P:x\in \emptyset_X$ (que es falso) implica $Q:x\in \emptyset_Y,$ es decir $\emptyset_X\subset \emptyset_Y.$ De manera análoga, $\emptyset_Y\subset \emptyset_X.$

ANEXO TEÓRICO
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