Límite de una sucesión

Proporcionamos ejercicios sobre el concepto de límite de una sucesión.

    Enunciado
  1. $(i)$ Sea la sucesión $a_n=\dfrac{3n}{2n+1}.$ Demostrar que $\displaystyle\lim a_n=\dfrac{3}{2}.$
    $(ii)$ Hallar a partir de qué término la diferencia $\left|a_n-3/2\right|$ es menor que $0,001.$
  2. Demostrar que $\lim \dfrac{1}{n}=0.$
  3. Demostrar que $\lim \dfrac{1}{n^2}=0.$
  4. Demostrar que $\lim \;\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)=0.$
  5. Demostrar que $\lim \left(\dfrac{1}{3}\right)^n=0.$
  6. Demostrar que si $\lvert q \rvert<1,$ entonces $\lim q^n=0.$
  7. Demostrar que la sucesión $a_n=(-1)^n$ no tiene límite.
  8. Demostrar que $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{6n^4+n^3+3}{2n^4-n+1}=3.$
  9. Demostrar que si una sucesión es convergente, tiene único límite.
    Solución

    En todo lo que sigue, $n$ representa un número natural aunque no se diga de manera explícita. Recordemos que se dice que $a\in\mathbb{R}$ es límite de la sucesión de números reales $\{a_n\}$ si, y sólo si para todo $\epsilon>0$ existe un número natural $n_0$ tal que si $n\geq n_0$ con $n$ natural, entonces $\left|a_n-a\right|<\epsilon.$

    El que $a$ sea límite de la sucesión $\{a_n\}$ significa que los términos de la sucesión se aproximan al número $a,$ todo lo que queramos. Esto es claro, pues por muy pequeño que sea $\epsilon,$ siempre existe un número natural $n_0$ a partir del cual todos los términos de la sucesión distan de $a$ menos que $\epsilon.$ Recuérdese que el valor absoluto de la diferencia de dos números representa la distancia entre ambos.

  1. $(i)$ Tenemos: $$\left|a_n-3/2\right|<\epsilon\Leftrightarrow\left|\dfrac{3n}{2n+1}-\frac{3}{2}\right|<\epsilon \Leftrightarrow \left|\dfrac{6n-6n-3}{4n+2}\right|<\epsilon $$ $$ \Leftrightarrow \dfrac{3}{4n+2}<\epsilon \Leftrightarrow \frac{3}{\epsilon}<4n+2\Leftrightarrow \frac{3}{\epsilon}-2<4n\Leftrightarrow \frac{3}{4\epsilon}-\frac{1}{2}<n.$$ Es decir, para cualquier $\epsilon >0,$ si elegimos $n_0$ número natural tal que $n_0>\dfrac{3}{4\epsilon}-\dfrac{1}{2}$, entonces $\left|a_n-3/2\right|<\epsilon$ si $n\geq n_0,$ por tanto $\lim a_n=3/2.$
    $(ii)$ Para $\epsilon =0.001:$ $$\frac{3}{4\epsilon}-\frac{1}{2}=\frac{3}{0.004}-0.5=749.5$$ luego a partir del del término $a_{750}$ ocurre $\left|a_n-3/2\right|<0.001.$
  2. Tenemos $$\left|\dfrac{1}{n}-0\right|<\epsilon \Leftrightarrow \dfrac{1}{n}<\epsilon \Leftrightarrow \dfrac{1}{\epsilon}<n. $$ Es decir, para cualquier $\epsilon >0,$ si elegimos $n_0$ número natural tal que $n_0>\dfrac{1}{\epsilon}$, entonces $\left|\dfrac{1}{n}-0\right|<\epsilon$ si $n\geq n_0.$ Hemos demostrado pues que $\lim \dfrac{1}{n}=0.$
  3. Si $n\geq 1,$ entonces $\left|\dfrac{1}{n^2}-0\right|=\dfrac{1}{n^2}<\dfrac{1}{n}.$ Por el problema anterior, $\dfrac{1}{n}<\epsilon$ si $n>\dfrac{1}{\epsilon},$ en consecuencia también ocurre $\dfrac{1}{n^2}<\epsilon$ si $n>\dfrac{1}{\epsilon}.$ Es decir, $\lim \dfrac{1}{n^2}=0.$

    También podríamos haber trabajado directamente sobre la sucesión dada: $$\left|\dfrac{1}{n^2}-0\right|<\epsilon \Leftrightarrow \dfrac{1}{n^2}<\epsilon \Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{\epsilon}}<n. $$ Es decir, para cualquier $\epsilon >0,$ si elegimos $n_0$ número natural tal que $n_0>\dfrac{1}{\sqrt{\epsilon}}$, entonces $\left|\dfrac{1}{n^2}-0\right|<\epsilon$ si $n\geq n_0,$ y por tanto $\lim \dfrac{1}{n^2}=0.$

  4. Tenemos $$\left|\sqrt{n+1}-\sqrt{n}-0\right|= \sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\dfrac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$$ $$=\frac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}<\frac{1}{2\sqrt{n}}.$$ Entonces, para que ocurra $\left|\sqrt{n+1}-\sqrt{n}-0\right|<\epsilon$ basta que ocurra $\dfrac{1}{2\sqrt{n}}<\epsilon,$ y esto último sucede para $n>\dfrac{1}{4\epsilon^2}.$

    Eligiendo pues $n_0>\dfrac{1}{4\epsilon^2},$ se verifica $\left|\sqrt{n+1}-\sqrt{n}-0\right|<\epsilon$ si $n\geq n_0,$ luego $\lim \;\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)=0.$

  5. Dado que $3^n>n,$ para todo $n\geq 1$ se verifica: $$\left|\left(\dfrac{1}{3}\right)^n-0\right|=\frac{1}{3^n}<\frac{1}{n}.$$ Elijamos un número natural $n_0$ tal que $\dfrac{1}{n_0}<\epsilon.$ Entonces, para todo $n\geq n_0:$ $$\left|\left(\dfrac{1}{3}\right)^n-0\right|=\frac{1}{3^n}<\frac{1}{n}\leq\frac{1}{n_0}<\epsilon,$$ lo cual implica que $\lim \left(\dfrac{1}{3}\right)^n=0.$
  6. Sea $\epsilon > 0.$ Si $q=0,$ el resultado es trivial. Sea pues $\left | q\right |\neq 0$ y $\epsilon>0,$ entonces: $$\left | q^n-0 \right |<\epsilon\Leftrightarrow \left | q\right |^n<\epsilon \Leftrightarrow n\log \left | q\right | <\log \epsilon.\quad (*)$$ Dado que $0<\left | q\right |<1,$ se verifica $\log \left | q\right |<0$ con lo cual la última desigualdad de $(*)$ equivale a $n>\dfrac{\log \epsilon}{\log \left | q\right |}.$ Hemos demostrado que $\lim q^n=0.$
  7. Supongamos que $a_n\to L\in\mathbb{R}.$ Entonces, tomando $\epsilon =1,$ existe un número natural $n_0$ tal que $\left | (-1)^n-L\right |<1.$ Para $n=2n_0$ obtenemos $\left | 1-L\right |<1,$ lo cual implica que $L>0.$

    Para $n=2n_0+1,$ obtenemos $\left | -1-L\right |=\left | 1+L\right |<1,$ lo cual implica que $L<0.$ Llegamos a una contradicción, en consecuencia la sucesión dada no tiene límite.

  8. Tenemos $$\left|\frac{6n^4+n^3+3}{2n^4-n+1}-3\right|<\epsilon\Leftrightarrow \left|\frac{n^3+3n}{2n^4-n+1}\right|<\epsilon.$$ Para todo entero positivo $n$ severifica $$4n^3\ge n^3+3n,\quad 2n^4-n+1\ge n^4$$ Por tanto $$\left|\frac{n^3+3n}{2n^4-n+1}\right|\le \frac{4n^3}{n^4}=\frac{4}{n},$$ y elgiendo $n_0=\lfloor 4/\epsilon \rfloor+1$ tenemos $4/n <\epsilon$ si $n\ge n_0,$ luego $$\left|\frac{6n^4+n^3+3}{2n^4-n+1}-3\right|<\epsilon\text{ si }n\ge \left\lfloor \frac{4}{\epsilon} \right\rfloor+1.$$
  9. Sea $\{a_n\}$ una sucesión convergente y supongamos $a,b\in\mathbb{R}$ fueran límtes de la misma. Sea $\epsilon >0.$ Como $\epsilon/2$ es también mayor que cero y usando la definición de límite: $$\exists n_0\in \mathbb{N}:\text{ si }n\geq n_0\text{ entonces }\left|a_n-a\right|<\epsilon/2,$$ $$\exists n_1\in \mathbb{N}:\text{ si }n\geq n_1\text{ entonces }\left|a_n-b\right|<\epsilon/2.$$ Si $m=\max \{n_0,n_1\},$ se verifica: $$\left|a-b\right|=\left|a-a_m+a_m-b\right|\leq \left|a-a_m\right|+\left|a_m-b\right|<\epsilon/2+\epsilon/2=\epsilon.$$ Por tanto, el número $\left|a-b\right|$ es menor o igual que todos los números positivos $\epsilon.$ Como $\left|a-b\right|\geq 0,$ ha de ser necesariamente $\left|a-b\right|=0,$ es decir $a=b.$ Concluimos que si una sucesión es convergente, entonces su límite es único.
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