Partes de un conjunto, complementario y diferencia

Proporcionamos un problema sobre partes de un conjunto, complementario y diferencia, y un anexo teórico.

Enunciado
1. Dado $U=\{a,b,c,d\},$ determinar $\mathcal{P}(U).$
2. Determinar los conjuntos $\mathcal{P}(\emptyset),\;\mathcal{P}\left(\mathcal{P}(\emptyset)\right),\;\mathcal{P}\left(\mathcal{P}\left(\mathcal{P}(\emptyset)\right)\right).$
3. En $\mathcal{P}(\mathbb{Q}),$ determinar $\mathbb{Z}^c$ y $\mathbb{Z}-\mathbb{N}.$
4. Sea $A=\{a_1,\ldots,a_n\}$ un conjunto con $n$ elementos. Hallar el número de elementos de $\mathcal{P}(A).$
5. Dados dos conjuntos $A$ y $B$ su diferencia simétrica se define como el conjunto $A\Delta B=(A-B)\cup (B-A).$ Demostrar que se verifica la igualdad $$A\Delta B=(A\cup B)- (A\cap B).$$ 6. Para dos conjuntos $A$ y $B$ demostrar que $A=(A\cap B)\cup (A-B)$ y que es una representación de $A$ como unión de conjuntos disjuntos.
7. Siendo $A,B,C$ subconjuntos de un conjunto universal $U,$ demostrar que $A-(B-C)=(A-B)\cup(A\cap C)$
8. Demostrar que existe un único $A\in\mathcal{P}(C)$ tal que para todo $X\in\mathcal{P}(C),$ se verifica $A\Delta X=X\Delta A=X.$
9. Sean $A$ y $B$ subconjuntos de un conjunto universal $U$. Determinar condiciones necesarias y suficientes para que se verifique la igualdad $A\cup B^c=B$.

Solución
1. Escribamos los subconjuntos de $U$ atendiendo a su número de elementos:
Con $0$ elementos: $\emptyset$. Con $1$ elemento: $\{a\}$, $\{b\}$,$\{c\}$,$\{d\}$. Con $2$ elementos: $\{a,b\}$, $\{a,c\}$, $\{a,d\}$, $\{b,c\}$,$\{b,d\}$, $\{c,d\}$. Con $3$ elementos: $\{a,b,c\}$, $\{a,b,d\}$, $\{a,c,d\}$, $\{b,c,d\}$. Con $4$ elementos: $U$. Por tanto
$$\mathcal{P}(U)=\{\;\emptyset,\{a\}, \{b\},\{c\},\{d\},\{a,b\}, \{a,c\}, \{a,d\},\\ \{b,c\}, \{b,d\}, \{c,d\},\{a,b,c\}, \{a,b,d\}, \{a,c,d\}, \{b,c,d\},U\;\}.$$
2. Claramente $\mathcal{P}(\emptyset)=\{\emptyset\}$ y $\mathcal{P}\left(\mathcal{P}(\emptyset)\right)=\left\{\emptyset,\{\emptyset\}\right\}$. Para hallar con más claridad $\mathcal{P}\left(\mathcal{P}\left(\mathcal{P}(\emptyset)\right)\right)$, podemos considerar un conjunto $U=\{a,b\}$ y determinar $\mathcal{P}(U):$ $$\mathcal{P}(U)=\left\{\emptyset,\{a\},\{b\},\{a,b\}\right\}.$$ Ahora, basta sustituir $a$ por $\emptyset$ y $b$ por $\{\emptyset\}:$ $$\mathcal{P}\left(\mathcal{P}\left(\mathcal{P}(\emptyset)\right)\right)=\left\{\emptyset,\{\emptyset\},\{\{\emptyset\}\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\right\}.$$ 3. $\mathbb{Z}^c$ está formado por los elementos de $\mathbb{Q}$ que no están en $\mathbb{Z}$, es decir por los números racionales que no son enteros. Por tanto: $$\mathbb{Z}^c=\{x\in\mathbb{Q}:x\text{ no es fracción entera}\}.$$ $\mathbb{Z}-\mathbb{N}$ está formado por los elementos de $\mathbb{Z}$ que no están en $\mathbb{N}$, es decir por los números enteros negativos $$\mathbb{Z}-\mathbb{N}=\{-1,-2,-3,\ldots\}.$$ 4. Contemos los subconjuntos de $A$, atendiendo al número de elementos. Hay $1=\binom{n}{0}$ subconjuntos con $0$ elementos (el conjunto vacío). Hay $n=\binom{n}{1}$ subconjuntos con $1$ elemento, $\binom{n}{2}$ con dos elementos, … , $\binom{n}{k}$ con $k$ elementos, … , $1=\binom{n}{n}$ con $n$ elementos (el conjunto $A$). Sumando y aplicando la fórmula del binomio de Newton obtenemos el cardinal de $\mathcal{P}(A):$
$$\begin{aligned}
\text{card }\mathcal{P}(A)&=\displaystyle\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+\ldots+\binom{n}{n}\\
&=\displaystyle\binom{n}{0}1^n\cdot 1^0+\binom{n}{1}1^{n-1}\cdot 1^1+\binom{n}{2}1^{n-2}\cdot 1^2+\ldots+\binom{n}{n}1^0\cdot 1^n\\
&=(1+1)^n=2^n=2^{\text{card }A}.
\end{aligned}$$ 5. Demostremos el doble contenido. Tenemos:$$x\in A\Delta B \Rightarrow x\in (A-B)\cup (B-A)\Rightarrow \left \{ \begin{matrix}x\in A-B\\\text{o}\\x\in B-A\end{matrix}\right.\Rightarrow$$ $$\left \{ \begin{matrix}x\in A\text{ y }x\not\in B\\\text{o}\\x\in B\text{ y }x\not\in A\end{matrix}\right.\Rightarrow \left \{ \begin{matrix}x\in A\cup B\text{ y }x\not\in A\cap B\\\text{o}\\x\in A\cup B\text{ y }x\not\in A\cap B\end{matrix}\right.\Rightarrow x\in (A\cup B)- (A\cap B).$$ Es decir, $A\Delta B\subset(A\cup B)- (A\cap B)$. Por otra parte: $$x\in (A\cup B)- (A\cap B)\Rightarrow \left \{ \begin{matrix}x\in A\cup B\\\text{y}\\x\not\in A\cap B\end{matrix}\right.\Rightarrow $$ $$\left \{ \begin{matrix}\text{Caso 1. }x\in A\Rightarrow x\not\in B\Rightarrow x\in A-B\\\text{y}\\\text{Caso 2. }x\in B\Rightarrow x\not\in A\Rightarrow x\in B-A\end{matrix}\right.\Rightarrow x\in (A-B)\cup (B-A).$$ Es decir, $(A\cup B)- (A\cap B)\subset A\Delta B $.

6. Para demostrar la igualdad dada, podemos demostrar el doble contenido. Sin embargo, optaremos por considerar $A$ y $B$ contenidos en otro conjunto $U$ que hace el papel de universal (por ejemplo, $U=A\cup B$). Entonces, usando conocidas propiedades: $$\begin{aligned}
&(A\cap B)\cup (A-B)=(A\cap B)\cup (A\cap B^c)\\
&=A\cap(B\cup B^c)=A\cap U=A.
\end{aligned}$$ Por otra parte: $$\begin{aligned}
&(A\cap B)\cap (A-B)=(A\cap B)\cap (A\cap B^c)\\
&=(A\cap A)\cap (B\cap B^c)=A\cap \emptyset=\emptyset.
\end{aligned}$$Es decir, la unión es disjunta.

7. Usando las propiedades del complementario y la propiedad distributiva de la intersección respecto de la unión:
$$\begin{aligned}&A-(B-C) = A\cap(B-C)^c= A\cap(B\cap C^c)^c= A\cap\left(B^c\cup (C^c)^c\right)\\
&= A\cap(B^c\cup C)= (A\cap B^c)\cup(A\cap C)= (A-B)\cup(A\cap C).\end{aligned}$$
8. La diferencia simétrica $\Delta$ es operación conmutativa. En efecto: $$A\Delta X=A\cup X-A\cap X=X\cup A-X\cap A=X\Delta A.$$ por tanto, el problema equivale a demostrar que existe un único $A\in\mathcal{P}(C)$ tal que para todo $X\in\mathcal{P}(C),$ se verifica $A\Delta X=X.$

Unicidad. Si tal $A$ existe, se ha de cumplir $A\Delta X=X$ para todo $X\in\mathcal{P}(C),$ en particular para $X=C$. Pero $$A\Delta C=C\Leftrightarrow A\cup C-A\cap C=C\Leftrightarrow C-A=C,$$ y la última igualdad solamente se verifica si $A=\emptyset$.
Existencia. Si $A=\emptyset$, se verifica $$A\Delta X=\emptyset \Delta X=\emptyset \cup X-\emptyset\cap X=X-\emptyset=X.$$ Queda pues demostrada la propiedad requerida.

9. Tenemos las implicaciones $$A\cup B^c=B\Rightarrow \left(A\cup B^c\right)\cup B=B\cup B\Rightarrow A\cup \left(B^c\cup B\right)=B\Rightarrow A\cup U=B\Rightarrow U=B.$$ Es decir, necesariamente ha de ser $B=U$. Por otra parte, si $B=U$, $$A\cup U^c=U\Rightarrow A\cup \emptyset=U\Rightarrow A=U.$$ Por tanto, para que se cumpla $A\cup B^c=B$ es necesario que $A=B=U$. También es suficiente pues $U\cup U^c=U\cup \emptyset=U$.

ANEXO TEÓRICO
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