Producto cartesiano

Proporcionamos ejercicios sobre el producto cartesiano.

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Dados $A=\left\{a,b\right\}$ y $B=\left\{1,2\right\}$ determinar $A\times B$ y $B\times A.$
  2. Dados $A=\left\{1,2\right\},B=\left\{a\right\},C=\left\{1,3\right\}$ determinar $A\times B\times C.$
  3. Demostrar que $A’\subset A,B’\subset B\Rightarrow A’\times B’\subset A\times B.$
  4. Demostrar que $A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C).$
  5. Demostrar que $A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C).$
    Solución
  1. De acuerdo con la definición de producto cartesiano: $$A\times B=\{(a,1),(a,2),(b,1),(b,2)\},\\
    B\times A=\{(1,a),(2,a),(1,b),(2,b)\}.$$
  2. De acuerdo con la definición de producto cartesiano de varios conjuntos $$A\times B\times C=\{(1,a,1),(1,a,3),(2,a,1),(2,a,3)\}.$$
  3. Sea $(a,b)\in A’\times B’$. Por definición de producto cartesiano, $a\in A’$ y $b\in B’$. Como por hipótesis $A’\subset A$ y $B’\subset B$, también $a\in A$ y $b\in B$ lo cual implica que $(a,b)\in A\times B.$
  4. Tenemos las equivalencias: $$(a,b)\in A\times (B\cup C)\Leftrightarrow a\in A\text{ y } b\in B\cup C\Leftrightarrow a\in A\text{ y } (b\in B\text{ o }b\in C)$$ $$\Leftrightarrow (a\in A\text{ y }b\in B)\text{ o }(a\in A\text{ y }b\in C)\Leftrightarrow (a,b)\in A\times B\text{ o }(a,b)\in A\times C$$ $$\Leftrightarrow(a,b)\in (A\times B)\cup (A\times C),$$ lo cual demuestra la igualdad dada.
  5. Tenemos las equivalencias: $$(a,b)\in A\times (B\cap C)\Leftrightarrow a\in A\text{ y } b\in B\cap C\Leftrightarrow a\in A\text{ y } (b\in B\text{ y }b\in C)$$ $$\Leftrightarrow (a\in A\text{ y }b\in B)\text{ y }(a\in A\text{ y }b\in C)\Leftrightarrow (a,b)\in A\times B\text{ y }(a,b)\in A\times C$$ $$\Leftrightarrow(a,b)\in (A\times B)\cap (A\times C),$$ lo cual demuestra la igualdad dada.
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