Relación de equivalencia, conjunto cociente

Proporcionamos ejercicios sobre los conceptos de relación de equivalencia y de  conjunto cociente.

TEORÍA

1  En un conjunto $A$ formado por bolas de colores, demostrar que la relación $xRy$ si y sólo si $x$ tiene el mismo color que $y,$ es de equivalencia.

SOLUCIÓN

2  Sea $A$ un conjunto formado por siete bolas numeradas del 1 al 7 y tales que las bolas 1,2,3 son rojas, la 4 y 5 azules, y la 6 y 7 verdes. Se considera en $A$ la relación de equivalencia $xRy,$ si y sólo si $x$ e $y$ tienen el mismo color. Determinar las clases de equivalencia y el conjunto cociente.

SOLUCIÓN

3  En $\mathbb{R}$ se define la relación $$aRb\Leftrightarrow a^2-b^2=a-b.$$ $(a)$ Demostrar que $R$ es relación de equivalencia.
$(b)$ Determinar la clase a la que pertenece $5$.
$(c)$ Determinar el conjunto cociente $\mathbb{R}/R$.

SOLUCIÓN

4  En el conjunto $A=\{0,1,2,\ldots,20\}$ se considera la relación $xRy$ si y sólo si $x-y$ es múltiplo de $2$, es decir $xRy$ si y sólo si existe $k\in\mathbb{Z}$ tal que $x-y=2k$. Determinar las clases $C[0]$ y $C[1]$ y a partir de ellas deducir el conjunto cociente.

SOLUCIÓN

5  En el conjunto $E=\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ se define la relación: $$(x,y)R(z,t)\Leftrightarrow x^2+y^2=z^2+t^2.$$ Demostrar que $R$ es relación de equivalencia y determinar el conjunto cociente $E/R$.

SOLUCIÓN

6  En el conjunto $\mathbb{R}$ de los números reales se considera la relación de equivalencia $xRy\Leftrightarrow |x|=|y|.$ Determinar el conjunto cociente $A/R.$

SOLUCIÓN

7  Sea $X$ el conjunto de todas funciones de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$. Dadas $x(t),y(t)\in X$ se define la relación: $$x(t)Ry(t)\Leftrightarrow \lim_{t\to 0}\frac{x(t)-y(t)}{t^2}=0.$$ Demostrar que $R$ es una relación de equivalencia.

SOLUCIÓN

8  En el conjunto $E=\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ se define la relación $(x,y)R(z,t)$ $\Leftrightarrow$ $x=z.$ Demostrar que $R$ es relación de equivalencia e identificar geométricamente el conjunto cociente $E/R$.

SOLUCIÓN

9  Sea $X$ el conjunto de las aplicaciones de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$. Dadas $x,y\in X$ se define la relación $xRy\Leftrightarrow \exists c>0:x(t)=y(t)\text{ para }|t|<|c|.$ Demostrar que $R$ es una relación de equivalencia.

SOLUCIÓN

10  Sean $A$ y $B$ dos conjuntos y $R$ y $S$ relaciones de equivalencia sobre $A$ y $B$ respectivamente. Probar que la relación $(a_1,b_1)T(a_2,b_2)$ $\Leftrightarrow$ $ (a_1Ra_2\text{ y }b_1Sb_2)$ es de equivalencia sobre $A\times B$.

SOLUCIÓN

11  Sea $U$ un conjunto y $A\subset U.$ En $\mathcal{P}(U)$ (partes de $U$) se define la relación binaria $XR_AY\Leftrightarrow X\cup A=Y\cup A.$ Comprobar que es una relación de equivalencia. En el caso de ser $U=\{1,2,3,4\}$ y $A=\{1,2\}$ determinar el conjunto cociente $\mathcal{P}(U)/R_A.$

SOLUCIÓN
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