Relación de equivalencia, conjunto cociente

Proporcionamos ejercicios sobre los conceptos de relación de equivalencia y conjunto cociente.

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. En un conjunto $A$ formado por bolas de colores, demostrar que la relación $xRy$ si y sólo si $x$ tiene el mismo color que $y,$ es de equivalencia.
  2. Sea $A$ un conjunto formado por siete bolas numeradas del 1 al 7 y tales que las bolas 1,2,3 son rojas, la 4 y 5 azules, y la 6 y 7 verdes. Se considera en $A$ la relación de equivalencia $xRy,$ si y sólo si $x$ e $y$ tienen el mismo color. Determinar las clases de equivalencia y el conjunto cociente.
  3. En $\mathbb{R}$ se define la relación $$aRb\Leftrightarrow a^2-b^2=a-b.$$ $(a)$ Demostrar que $R$ es relación de equivalencia.
    $(b)$ Determinar la clase a la que pertenece $5$.
    $(c)$ Determinar el conjunto cociente $\mathbb{R}/R$.
  4. En el conjunto $A=\{0,1,2,\ldots,20\}$ se considera la relación $xRy$ si y sólo si $x-y$ es múltiplo de $2$, es decir $xRy$ si y sólo si existe $k\in\mathbb{Z}$ tal que $x-y=2k$. Determinar las clases $C[0]$ y $C[1]$ y a partir de ellas deducir el conjunto cociente.
  5. En el conjunto $E=\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ se define la relación: $$(x,y)R(z,t)\Leftrightarrow x^2+y^2=z^2+t^2.$$ Demostrar que $R$ es relación de equivalencia y determinar el conjunto cociente $E/R$.
  6. En el conjunto $\mathbb{R}$ de los números reales se considera la relación de equivalencia $xRy\Leftrightarrow |x|=|y|.$ Determinar el conjunto cociente $A/R.$
  7. Sea $X$ el conjunto de todas funciones de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$. Dadas $x(t),y(t)\in X$ se define la relación: $$x(t)Ry(t)\Leftrightarrow \lim_{t\to 0}\frac{x(t)-y(t)}{t^2}=0.$$ Demostrar que $R$ es una relación de equivalencia.
  8. En el conjunto $E=\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ se define la relación $(x,y)R(z,t)$ $\Leftrightarrow$ $x=z.$ Demostrar que $R$ es relación de equivalencia e identificar geométricamente el conjunto cociente $E/R$.
  9. Sea $X$ el conjunto de las aplicaciones de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$. Dadas $x,y\in X$ se define la relación $xRy\Leftrightarrow \exists c>0:x(t)=y(t)\text{ para }|t|<|c|.$ Demostrar que $R$ es una relación de equivalencia.
  10. Sean $A$ y $B$ dos conjuntos y $R$ y $S$ relaciones de equivalencia sobre $A$ y $B$ respectivamente. Probar que la relación $(a_1,b_1)T(a_2,b_2)$ $\Leftrightarrow$ $ (a_1Ra_2\text{ y }b_1Sb_2)$ es de equivalencia sobre $A\times B$.
  11. Sea $U$ un conjunto y $A\subset U.$ En $\mathcal{P}(U)$ (partes de $U$) se define la relación binaria $XR_AY\Leftrightarrow X\cup A=Y\cup A.$ Comprobar que es una relación de equivalencia. En el caso de ser $U=\{1,2,3,4\}$ y $A=\{1,2\}$ determinar el conjunto cociente $\mathcal{P}(U)/R_A.$
    Solución
  1. En efecto, toda bola tiene el mismo color que ella misma (reflexiva). Si $x$ tiene el mismo color que $y$, entonces $y$ tiene el mismo color que $x$ (simétrica). Si $x$ tiene el mismo color que $y$ e $y$ tiene el mismo color que $z,$ entonces $x$ tiene el mismo color que $z$ (transitiva).
  2. Las clases de equivalencia son:$$C[1]=C[2]=C[3]=\{1,2,3\}\\
    C[4]=C[5]=\{4,5\}\\
    C[6]=C[7]=\{6,7\},$$ y por tanto, el conjunto cociente es: $$A/R=\left\{\{1,2,3\},\{4,5\},\{6,7\}\right\}.$$ Nota. A veces se identifica cada clase de equivalencia, con lo que tienen en común los elementos de la clase. En la relación de equivalencia de este problema sería $A/R\equiv\{\text{rojo },\text{azul },\text{verde}\}.$
  3. $(a)$ Reflexiva. Para todo $a\in \mathbb{R}$ se verifica $a^2-a^2=a-a$, en consecuencia $aRa$.
    Simétrica. Para todo $a,b\in \mathbb{R}:$ $$aRb\Rightarrow a^2-b^2=a-b\Rightarrow b^2-a^2=b-a\Rightarrow bRa.$$Transitiva. Para todo $a,b,c\in \mathbb{R}:$ $$\left \{ \begin{matrix}aRb\\bRc\end{matrix}\right.\Rightarrow \left \{ \begin{matrix}a^2-b^2=a-b\\b^2-c^2=b-c\end{matrix}\right.\Rightarrow (\text{sumando})\;a^2-c^2=a-c\Rightarrow aRc.$$ La relación $R$ es por tanto de equivalencia.
    $(b)$ La clase a la que pertenece $5$ es: $$C[5]=\{x\in \mathbb{R}:xR5\}=\{x\in \mathbb{R}:x^2-5^2=x-5\}.$$Resolvemos la ecuación: $$x^2-5^2=x-5\Leftrightarrow (x+5)(x-5)=(x-5)\\\Leftrightarrow (x+5)(x-5)-(x-5)=0\\\Leftrightarrow(x-5)(x+4)=0\Leftrightarrow x=5\text{ o }x=-4.$$La clase pedida es por tanto $C[5]=\{5,-4\}$.
    $(c)$ Sea $a\in\mathbb{R}$. La clase a la que pertenece $a$ es: $$C[a]=\{x\in \mathbb{R}:xRa\}=\{x\in \mathbb{R}:x^2-a^2=x-a\}.$$Resolvemos la ecuación:$$x^2-a^2=x-a\Leftrightarrow (x+a)(x-a)=(x-a)\\\Leftrightarrow (x+a)(x-a)-(x-a)=0\\\Leftrightarrow(x-a)(x+a-1)=0 \Leftrightarrow x=a\text{ o }x=1-a.$$Es decir, $C[a]=\{a,1-a\}$, y el conjunto cociente es: $$\mathbb{R}/R=\left\{ \{a,1-a\}:a\in\mathbb{R}\right\}.$$Nótese que cada clase tiene dos elementos, salvo en el caso $a=1-a$ (es decir, $a=1/2$) que sólo tiene un elemento: $C[1/2]=\{1/2\}$.
  4. Reflexiva. Para todo $x\in A$ se verifica $x-x=0=2\cdot 0$ con $0\in\mathbb{Z}$, en consecuencia $xRx$.
    Simétrica. Para todo $x,y\in A:$ $$xRy\Rightarrow \exists k\in\mathbb{Z}: x-y=2k\Rightarrow y-x=2(-k)\\\Rightarrow yRx\text{ (pues }-k\in\mathbb{Z}).$$ Transitiva. Para todo $x,y,z\in A:$ $$\left \{ \begin{matrix}xRy\\yRz\end{matrix}\right.\Rightarrow \left \{ \begin{matrix}\exists k\in\mathbb{Z}: x-y=2k\\\exists k’\in\mathbb{Z}: y-z=2k’\end{matrix}\right.\Rightarrow \text{(sumando)} \\
    x-z=2(k+k’)\Rightarrow xRz\text{ (pues }k+k’\in\mathbb{Z}).$$ La relación $R$ es por tanto de equivalencia. Determinemos $ C[0] $ y $ C[1]: $ $$C[0]=\{x\in A:xR0\}=\{x\in A:x-0\text{ es múltiplo de }2\}\\
    =\{x\in A:x\text{ es múltiplo de }2\}=\{0,2,4,6,8,10,12\}.$$ $$\begin{aligned}C[1]&=\{x\in A:xR1\}=\{x\in A:x-1\text{ es múltiplo de }2\}\\
    &=\{1,3,5,7,9,11\}.\end{aligned}$$ Dado que $C[0]\cup C[1]=A$, no hay más clases de equivalencia y el conjunto cociente es por tanto $$A/R=\left\{C[0], C[1]\right\}=\left\{\{0,2,4,6,8,10,12\},\{1,3,5,7,9,11\} \right\}.$$
  5. Reflexiva. Para todo $(x,y)\in E$ se verifica $x^2+y^2=x^2+y^2$, en consecuencia $(x,y)R(x,y)$.
    Simétrica. Para todo $(x,y),(z,t)\in E:$
    $$(x,y)R(z,t)\Rightarrow x^2+y^2=z^2+t^2\Rightarrow z^2+t^2=x^2+y^2\Rightarrow (z,t)R(x,y).$$ Transitiva. Para todo $(x,y),(z,t),(u,v)\in E:$ $$\left \{ \begin{matrix}(x,y)R(z,t)\\(z,t)R(u,v)\end{matrix}\right.\Rightarrow \left \{ \begin{matrix}x^2+y^2=z^2+t^2\\z^2+t^2=u^2+v^2\end{matrix}\right.\\\Rightarrow x^2+y^2=u^2+v^2\Rightarrow (x,y)R(u,v).$$ La relación $R$ es por tanto de equivalencia. Determinemos una clase genérica, para ello elijamos $(x_0,y_0)\in E$ fijo. La clase a la que pertenece $(x_0,y_0)$ es: $$C[(x_0,y_0)]=\{(x,y)\in E:(x,y)R(x_0,y_0)\}=\{(x,y)\in E:x^2+y^2=x_0^2+y_0^2\}.$$ Dado que $x_0^2+y_0^2\geq 0$, la clase $C[(x_0,y_0)]$ representa una circunferencia de centro el origen y radio $r=\sqrt{x_0^2+y_0^2}$. En consecuencia, $$E/R=\{C_r:r\geq 0\}\quad(C_r\text{ circunf. de centro }(0,0)\text{ y radio }r).$$ Nótese que para $r=0$, la circunferencia consta de un único punto: el $(0,0)$.
  6. Sea $a\in \mathbb{R}.$ La clase de equivalencia determinada por $a$ es: $$[a]=\{x\in\mathbb{R}:xRa\}=\{x\in\mathbb{R}:|x|=|a|\}=\{-a,a\}$$ por tanto, el conjunto cociente es: $A/R=\left\{\{-a,a\}:a\in\mathbb{R}\right\}.$
  7. Reflexiva. Para todo $x(t)\in X$ se verifica: $$\lim_{t\to 0}\frac{x(t)-x(t)}{t^2}=\lim_{t\to 0}\frac{0}{t^2}=\lim_{t\to 0}0=0$$ es decir, $x(t)Rx(t)$.
    Simétrica. Para todo $x(t),y(t)\in X$ se verifica: $$x(t)Ry(t)\Rightarrow \displaystyle\lim_{t\to 0}\frac{x(t)-y(t)}{t^2}=0\Rightarrow \lim_{t\to 0}\frac{y(t)-x(t)}{t^2}\\
    =-\displaystyle\lim_{t\to 0}\frac{x(t)-y(t)}{t^2}=-0=0\Rightarrow y(t)Rx(t).$$ Transitiva. Para todo $x(t),y(t),z(t)\in X$ se verifica: $$\displaystyle\left \{ \begin{matrix}x(t)Ry(t)\\y(t)Rz(t)\end{matrix}\right.\Rightarrow \left \{ \begin{matrix}\displaystyle \lim_{t\to 0}\frac{x(t)-y(t)}{t^2}=0\\\displaystyle \lim_{t\to 0}\frac{y(t)-z(t)}{t^2}=0,\end{matrix}\right.$$ lo cual implica: $$\displaystyle\lim_{t\to 0}\frac{x(t)-z(t)}{t^2}\displaystyle =\lim_{t\to 0}\frac{x(t)-y(t)+y(t)-z(t)}{t^2}\\
    \displaystyle =\lim_{t\to 0}\frac{x(t)-y(t)}{t^2}+\lim_{t\to 0}\frac{y(t)-z(t)}{t^2}=0+0=0\Rightarrow x(t)Rz(t).$$ La relación $R$ es por tanto de equivalencia.
  8. Reflexiva. Para todo $(x,y)\in E$ se verifica $x=x$, en consecuencia $(x,y)R(x,y)$.
    Simétrica. Para todo $(x,y),(z,t)\in E:$ $$(x,y)R(z,t)\Rightarrow x=z\Rightarrow z=x\Rightarrow (z,t)R(x,y).$$ Transitiva. Para todo $(x,y),(z,t),(u,v)\in E:$ $$\left \{ \begin{matrix}(x,y)R(z,t)\\(z,t)R(u,v)\end{matrix}\right.\Rightarrow \left \{ \begin{matrix}x=z\\z=u\end{matrix}\right.\\\Rightarrow x=u\Rightarrow (x,y)R(u,v).$$ La relación $R$ es por tanto de equivalencia. Determinemos una clase genérica, para ello elijamos $(x_0,y_0)\in E$ fijo. La clase a la que pertenece $(x_0,y_0)$ es: $$C[(x_0,y_0)]=\{(x,y)\in E:(x,y)R(x_0,y_0)\}=\{(x,y)\in E:x=x_0\}.$$ La clase $C[(x_0,y_0)]$ representa la recta vertical $r:x=x_0,$ por tanto podemos identificar $A/R$ como el conjunto cuyos elementos son las rectas verticales del plano.
  9. Reflexiva. Para toda $x\in X$ se verifica trivialmente $x(t)=x(t)$ para todo $x\in\mathbb{R}$, en particular para $|t|<c$ siendo $c>0$ cualquiera. Es decir, $xRx.$
    Simétrica. Para todo $x,y\in X$ se verifica:$$xRy\Rightarrow \exists c>0:x(t)=y(t)\text{ para }|t|<|c|\\
    \Rightarrow y(t)=x(t)\text{ para }|t|<|c|\Rightarrow yRx.$$ Transitiva. Para todo $x,y,z\in X$ se verifica: $$\displaystyle\left \{ \begin{matrix}xRy\\yRz\end{matrix}\right.\Rightarrow \left \{ \begin{matrix}\exists c_1>0:x(t)=y(t)\text{ para }|t|<|c_1|\\\exists c_2>0:y(t)=z(t)\text{ para }|t|<|c_2|.\end{matrix}\right.$$ Esto implica que $x(t)=z(t)$ si $|t|<|c|$ siendo $c=\min\{|c_1|,|c_2|\}$, es decir $xRz.$ La relación $R$ es por tanto de equivalencia.
  10. Reflexiva. Para todo $(a,b)\in A\times B$ se verifica $aRa$ y $bSb$ por ser $R$ y $S$ relaciones de equivalencia (por tanto reflexivas). Es decir, $(a,b)T(a,b).$
    Simétrica. Para todo $(a_1,b_1),(a_2,b_2)\in A\times B$ y teniendo en cuenta que $R$ y $S$ son simétricas: $$(a_1,b_1)T(a_2,b_2)\Rightarrow (a_1Ra_2\text{ y }b_1Sb_2)\\
    \Rightarrow (a_2Ra_1\text{ y }b_2Sb_1)\Rightarrow (a_2,b_2)T(a_1,b_1).$$ Transitiva. Para todo $(a_1,b_1),(a_2,b_2),(a_3,b_3)\in A\times B$ y teniendo en cuenta que $R$ y $S$ son transitivas: $$\displaystyle\left \{ \begin{matrix}(a_1,b_1)T(a_2,b_2)\\(a_2,b_2)T(a_3,b_3)\end{matrix}\right.\Rightarrow \left \{ \begin{matrix}a_1Ra_2\text{ y }b_1Sb_2\\a_2Ra_3\text{ y }b_2Sb_3\end{matrix}\right.\\
    \Rightarrow (a_1Ra_3\text{ y }b_1Sb_3)\Rightarrow (a_1,b_1)T(a_3,b_3).$$ La relación $T$ es por tanto de equivalencia.
  11. Reflexiva. Para todo $X\in \mathcal{P}(U)$ se verifica $X\cup A=X\cup A$, por tanto $XR_AX.$
    Simétrica. Para todo $X,Y\in \mathcal{P}(U):$ $$XR_AY\Rightarrow X\cup A=Y\cup A\Rightarrow Y\cup A=X\cup A\Rightarrow YR_AX.$$ Transitiva. Para todo $X,Y,Z\in \mathcal{P}(U):$ $$\left \{ \begin{matrix}XR_AY\\YR_AZ\end{matrix}\right.\Rightarrow \left \{ \begin{matrix}X\cup A=Y\cup A\\Y\cup A=Z\cup A\end{matrix}\right.\Rightarrow X\cup A=Z\cup A\Rightarrow XR_AY.$$ La relación $R_A$ es por tanto de equivalencia. Si $B\in \mathcal{P}(U),$ la clase determinada por $B$ es $[B]=\{X\in \mathcal{P}(U):X\cup A=X\cup B\}.$
    Para el caso concreto dado, y haciendo un recorrido por los elementos de $\mathcal{P}(U):$

    $\left[\emptyset\right]=\left\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{1,2\}\right\}$ (cada elemento de $\left[\emptyset\right]$ unión con $A$ es igual a $A$).

    $\left[\{3\}\right]=\left\{\{3\},\{1,3\},\{1,3\},\{2,3\}\right\}$ (cada elemento de $\left[\{3\}\right]$ unión con $A$ es igual a $\{1,2,3\}$).

    $\left[\{4\}\right]=\left\{\{4\},\{1,2\},\{1,4\},\{1,2,4\}\right\}$ (cada elemento de $\left[\{4\}\right]$ unión con $A$ es igual a $\{1,2,4\}$).

    $\left[\{3,4\}\right]=\left\{\{3,4\},\{1,3,4\},\{2,3,4\},U\right\}$ (cada elemento de $\left[\{3,4\}\right]$ unión con $A$ es igual a $U$).
    El conjunto cociente es por tanto: $$\mathcal{P}(U)/R_A=\left\{\left[\emptyset\right],\left[\{3\}\right],\left[\{4\}\right],\left[\{3,4\}\right]\right\}.$$

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