Unión e intersección generalizadas

Proporcionamos ejercicios sobre la unión e intersección generalizadas.

Enunciado
1. Se considera el conjunto de índices $J=\{j:j \mbox{ es letra vocal}\}$. Escribir los conjuntos que componen la familia indexada $\{A_j\}$. Escribir de otra manera $\cup_{j}A_j$ y $\cap_{j}A_j$.

2. Sea $I=[0,1]$ y, para cada $i\in I$, sea $A_i=[0,i]$. Determinar $A_{1/3}\cup A_{2/3}$ y $A_{1/3}\cap A_{2/3}$.

3. Sea $B_n=(0,1/n)$, donde $n\in\mathbb{N}^*=\{1,2,3,\ldots\}$. Hallar:

$(i)\;B_4\cup B_{9}$. $(ii)\;B_5\cap B_8$. $(iii)\;B_s\cup B_t$.
$(iv)\;B_s\cap B_t$. $(v)\bigcup_{i\in A\subset\mathbb{N}^*}B_i.$ $(vi)\;\bigcap_{i\in\mathbb{N}^*}B_i$.

4. Demostrar que para cualquier clase de conjuntos $\{A_i\}$ y para cualquier conjunto $B$ se verifica $B\cup (\cap_iA_i)=\cap_i(B\cup A_i)$ (propiedad distributiva de la unión respecto de la intersección).

5. Demostrar que para cualquier clase de conjuntos $\{A_i\}$ y para cualquier conjunto $B$ se verifica $B\cap (\cup_i A_i)=\cup_i(B\cap A_i)$ (propiedad distributiva de la intersección respecto de la unión).

6. Demostrar que para cualquier clase de subconjuntos $\{A_i\}$ de un universal $U$, se verifica la ley de Morgan: $(\cup_iA_i)^c=\cap_i A_i^c$.

7. Demostrar que para cualquier clase de subconjuntos $\{A_i\}$ de un universal $U$ se verifica la ley de Morgan: $(\cap_i A_i)^c=\cup_i A_i^c$.

Solución
Recordamos que las nociones de unión e intersección de conjuntos que se definieron para dos conjuntos se pueden generalizar para cualquier clase indexada $\{A_i:i\in I\}$ de conjuntos: $$\displaystyle\bigcup_{i\in I}{A_i }=\left\{x:\exists i\in I\mbox{ con }x\in A_i \right\}\;\mbox{(unión)}.$$ $$\displaystyle\bigcap_{i\in I}{A_i }=\left\{x:x\in A_i\;\forall i\in I\right\}\; \mbox{(intersección).}$$ Es decir, la unión está formada por los elementos que pertenecen a algún conjunto de la familia, y la intersección por los elementos que pertenecen a todos los de la familia.

1. Los conjuntos que forman la familia indexada son $A_a$, $A_e$, $A_i$, $A_o$ y $A_u$. Podemos escribir $$\cup_{j}A_j=A_a\cup A_e\cup A_i\cup A_o\cup A_u\\
\cap_{j}A_j=A_a\cap A_e\cap A_i\cap A_o\cap A_u.$$ 2. Tenemos $A_{1/3}=[0,1/3]$ y $A_{2/3}=[0,2/3]$, por tanto $$A_{1/3}\cup A_{2/3}=[0,2/3]=A_{2/3}\;,\quad A_{1/3}\cap A_{2/3}=[0,1/3]=A_{1/3}.$$
3. $(i)$ Como $4<9$, se verifica $1/9<1/4$ y por tanto $(0,1/9)\subset (0,1/4)$. Esto implica por la definición de los $B_n$ que $B_9\subset B_4$, en consecuencia $B_4\cup B_9=B_4$.

$(ii)$ Como $5<8$, se verifica $1/8<1/5$ y por tanto $(0,1/8)\subset (0,1/5)$. Esto implica por la definición de los $B_n$ que $B_8\subset B_5$, en consecuencia $B_5\cap B_8=B_8$.

$(iii)$ Llamemos $m=\min\{s,t\}$. Entonces, $1/s\leq 1/m$ y $1/t\leq 1/m$, lo cual implica que $B_s\subset B_m$ y $B_t\subset B_m$. Además, o bien $s=m$ o bien $t=m$, es decir $B_s=B_m$ o $B_t=B_m$. En consecuencia, $B_s\cup B_t=B_m$.

$(iv)$ Llamemos $M=\max\{s,t\}$. Entonces, $1/M\leq 1/s$ y $1/M\leq 1/t$ lo cual implica que $B_M\subset B_s$ y $B_M\subset B_t$. Además, o bien $s=M$ o bien $t=M$, es decir $B_s=B_M$ o $B_t=B_M$. En consecuencia, $B_s\cap B_t=B_M$.

$(v)$ Llamemos $a=\min\{i:i\in A\}$. Entonces, $1/i\leq 1/a$ y $1/i\leq 1/a$ para todo $i\in A$ lo cual implica que $B_i\subset B_a$ para todo $i\in A$. Además, $A_a$ es uno de los $A_i$. En consecuencia, $\bigcup_{i\in A\subset\mathbb{N}^*}B_i=A_a$.

$(vi)$ Si $x\in \bigcap_{i\in\mathbb{N}^*}B_i$, entonces $x\in B_i$ para todo $i\in\mathbb{N}^*$, es decir $0 < x < 1/i$ para todo $i\in\mathbb{N}^*$. Ahora bien, $\lim_{i\to \infty}1/i=0$ con lo cual existe $i_0\in\mathbb{N}^*$ tal que $ 0 < 1/i_0 < x $. Esto quiere decir que $x\not\in B_{i_0}$ y por tanto no puede estar en la intersección de todos los $B_i$. De ésta contradicción deducimos que $\bigcap_{i\in\mathbb{N}^*}B_i=\emptyset$.

4. Veamos el contenido de izquierda a derecha: $$x\in B\cup (\cap_iA_i)\Rightarrow (x\in B)\text{ o }(x\in\cap_iA_i )\Rightarrow (x\in B)\text{ o }(x\in A_i\;\;\forall i )$$ $$\Rightarrow \left \{ \begin{matrix}x\in B\cup A_i\;\;\forall i & \mbox{ si }& x\in B\\x\in B\cup A_i\;\;\forall i & \mbox{si}& x\in A_i\;\;\forall i\end{matrix}\right.\Rightarrow x\in \cap_i(B\cup A_i).$$ Veamos el otro contenido: $$x\in \cap_i(B\cup A_i)\Rightarrow x\in B\cap A_i\;\;\forall i\Rightarrow \left \{ \begin{matrix}x\in B\cup (\cap_iA_i) & \mbox{ si }& x\in B\\x\in A_i\;\;\forall i & \mbox{si}& x\not\in B\end{matrix}\right.
$$ $$\left \{ \begin{matrix}x\in B\cup (\cap_iA_i) & \mbox{ si }& x\in B\\x\in \cap_i A_i & \mbox{si}& x\not\in B\end{matrix}\right.\Rightarrow x\in B\cup (\cap_iA_i).$$

5. Por una parte: $$x\in B\cap (\cup_i A_i)\Rightarrow (x\in B)\text{ y }(x\in \cup_i A_i)$$ $$\Rightarrow (x\in B)\text{ y }(\exists i_0:x\in A_{i_0})\Rightarrow x\in B\cap A_{i_0}\Rightarrow x\in \cup_i(B\cap A_i)$$ es decir, $B\cap (\cup_i A_i)\subset\cup_i(B\cap A_i)$.
Veamos ahora la otra inclusión:$$x\in \cup_i(B\cap A_i)\Rightarrow \exists i_0:x\in B\cap A_{i_0}$$ $$\Rightarrow \exists i_0:x\in B\text { y } x\in A_{i_0}\Rightarrow x\in B \text{ y }x\in \cup_i A_i\Rightarrow x\in B\cap (\cup_i A_i), $$ es decir, $\cup_i(B\cap A_i)\subset B\cap (\cup_i A_i)$. Hemos demostrado la igualdad dada.

6. Para todo $x$ elemento de $U$ tenemos las equivalencias: $$x\in (\cup_iA_i)^c\Leftrightarrow x\not\in \cup_iA_i\Leftrightarrow x\not\in A_i\;\;\forall i\Leftrightarrow x\in A_i^c\;\;\forall i\Leftrightarrow x\in \cap_i A_i^c.$$ Es decir, $(\cup_iA_i)^c=\cap_i A_i^c$.

7. Para todo $x$ elemento de $U$ tenemos las equivalencias: $$x\in (\cap_iA_i)^c\Leftrightarrow x\not\in \cap_iA_i\Leftrightarrow \exists i: x\not\in A_i\Leftrightarrow \exists i: x\in A_i^c\Leftrightarrow x\in \cup_i A_i^c,$$ es decir, $(\cap_i A_i)^c=\cup_i A_i^c$.

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