Límites infinitos

Proporcionamos ejercicios sobre límites infinitos y un anexo teórico.

Enunciado
1. Demostrar que $\lim\; (2n+11)=+\infty,$ y que $\lim\:(-3n+7)=-\infty.$
2. Sea $\{x_n\}$ convergente con límite no nulo, e $\{y_n\}$ divergente. Hallar el límite de la sucesión $\{x_ny_n\}$
3. Siendo $P(x)\in \mathbb{R}[x]$, calcular $L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}P(n).$
4. Sean $\{x_n\}$ e $\{y_n\}$ divergentes. Demostrar que con esas hipótesis no se puede asegurar cual es el límite de $\left\{\dfrac{x_n}{y_n}\right\},$ caso de existir tal límite.
Nota. Abreviadamente decimos que las expresiones $\dfrac{+\infty}{+\infty},$ $\dfrac{+\infty}{-\infty},$ $\dfrac{-\infty}{+\infty},$ y $\dfrac{-\infty}{-\infty},$ son indeterminadas.
5. Sean $\{x_n\}\to 0$ e $\{y_n\}\to 0$ con $y_n\neq 0$ para todo $n$. Demostrar que con esas hipótesis no se puede asegurar cual es el límite de $\left\{\dfrac{x_n}{y_n}\right\},$ caso de existir tal límite.
Nota. Abreviadamente decimos que la expresión $\dfrac{0}{0}$ es indeterminada.
6. Sean $\{x_n\}\to 0$ e $\{y_n\}$ divergente. Demostrar que con esas hipótesis no se puede asegurar cual es el límite de $\{x_ny_n\},$ caso de existir tal límite.
Nota. Abreviadamente decimos que las expresiones $0\cdot (+\infty)$ y $0\cdot (-\infty)$ son indeterminadas.
7. Sean $\{x_n\}\to +\infty$ e $\{y_n\}\to -\infty$. Demostrar que con esas hipótesis no se puede asegurar cual es el límite de $\{x_n+y_n\},$ caso de existir tal límite.
Nota. Abreviadamente decimos que la expresión $(+\infty)+(-\infty)$ es indeterminada.
8. Demostrar que la sucesión $a_n=\cos n\pi $ es oscilante.

Solución
1. Sea $K>0.$ Entonces, $$2n+11>K\Leftrightarrow 2n>K-11\Leftrightarrow n>\frac{K-11}{2}.$$ Eligiendo $n_0$ natural tal que $n_0>\frac{K-11}{2},$ se verifica $2n+11>K$ para todo $n\geq n_0,$ por tanto $\lim\; (2n+11)=+\infty.$ Por otra parte, $$-3n+7<-K\Leftrightarrow -3n<-K-7\Leftrightarrow n>\frac{K+7}{3}.$$ Eligiendo $n_0$ natural tal que $n_0>\dfrac{K+7}{3},$ se verifica $-3n+7<-K$ para todo $n\geq n_0,$ por tanto $\lim\; (-3n+7)=-\infty.$

2. Dado $K>0,$ el número $2K/x$ es también positivo, y supongamos que $\{y_n\}\to +\infty,$ existe $n_1$ natural tal que $y_n>K$ si $n\geq n_1.$ Llamemos $n_2=\max \{n_0,n_1\},$ entonces si $n\geq n_2:$ $$x_ny_n>\frac{x}{2}\cdot\frac{2K}{x}=K,$$ lo cual implica que $\{x_ny_n\}\to +\infty.$
Nota. Una forma abreviada de escribir el resultado demostrado es $x\cdot (+\infty)=+\infty$ si $x>0.$

Razonando de manera análoga en los restantes casos, podemos concluir:
$$x>0\Rightarrow\left \{ \begin{matrix} x\cdot (+\infty)=+\infty \\ x\cdot (-\infty)=-\infty,\end{matrix}\right.\quad x<0\Rightarrow\left \{ \begin{matrix} x\cdot (+\infty)=-\infty \\ x\cdot (-\infty)=+\infty.\end{matrix}\right.$$ 3. Sea $P(x)=a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots+a_1x+a_0.$ Si $P(x)$ es un polinomio constante, es decir $P(x)=a_0,$ entonces $L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}a_0=a_0.$ Si $P(x)$ es de grado mayor o igual que $1,$ podemos escribir: $$L=\lim_{n\to +\infty}P(n)=\lim_{n\to +\infty}\left( a_mn^m+a_{m-1}n^{m-1}+\cdots+a_1n+a_0\right)$$ $$=\lim_{n\to +\infty}n^m\left(a_m+a_{m-1}\cdot\frac{1}{n}+\cdots+a_1\cdot\frac{1}{n^{m-1}}+a_0\cdot\frac{1}{n^m} \right).$$ El primer factor tiene límite $+\infty$ y el segundo, $a_m.$ Por tanto, $L=+\infty$ si $a_m>0$ y $L=-\infty$ si $a_m<0.$

4. Elijamos las sucesiones $x_n=n,$ $y_n=n,$ $y’_n=2n.$ Tenemos $\{x_n\}\to +\infty,$ $\{y_n\}\to +\infty,$ $\{y’_n\}\to +\infty.$ Sin embargo, $$\lim_{n\to +\infty}\frac{x_n}{y_n}=\lim_{n\to +\infty}\frac{n}{n}=\lim_{n\to +\infty}1=1,$$ $$\lim_{n\to +\infty}\frac{x_n}{y’_n}=\lim_{n\to +\infty}\frac{n}{2n}=\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.$$ Con cambios de signo adecuados, demostramos que las tres restantes expresiones son indeterminadas.

5. Elijamos las sucesiones $x_n=1/n,$ $y_n=1/n,$ $y’_n=2/n.$ Tenemos $\{x_n\}\to 0,$ $\{y_n\}\to 0,$ $\{y’_n\}\to 0.$ Sin embargo, $$\lim_{n\to +\infty}\frac{x_n}{y_n}=\lim_{n\to +\infty}\frac{1/n}{1/n}=\lim_{n\to +\infty}1=1,$$ $$\lim_{n\to +\infty}\frac{x_n}{y’_n}=\lim_{n\to +\infty}\frac{1/n}{1/(2n)}=\lim_{n\to +\infty}2=2.$$

6. Elijamos las sucesiones $x_n=1/n,$ $y_n=n,$ $y’_n=2/n.$ Tenemos $\{x_n\}\to 0,$ $\{y_n\}\to +\infty,$ $\{y’_n\}\to +\infty.$ Sin embargo, $$\lim_{n\to +\infty}x_ny_n=\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n}\cdot n=\lim_{n\to +\infty}1=1,$$ $$\lim_{n\to +\infty}x_ny’_n=\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n}\cdot 2n=\lim_{n\to +\infty}2=2.$$ Análogamente, y eligiendo $x_n=1/n,$ $y_n=-n,$ $y’_n=-2/n$ demostramos que $0\cdot (-\infty)$ es expresión indeterminada.

7. Elijamos las sucesiones $x_n=n,$ $y_n=-n,$ $y’_n=-n-1.$ Tenemos $\{x_n\}\to +\infty,$ $\{y_n\}\to -\infty,$ $\{y’_n\}\to -\infty.$ Sin embargo, $$\lim_{n\to +\infty}(x_n+y_n)=\lim_{n\to +\infty}(n- n)=\lim_{n\to +\infty}0=0,$$ $$\lim_{n\to +\infty}(x_n+y’_n)=\lim_{n\to +\infty}(n-n-1)=\lim_{n\to +\infty}-1=-1.$$

8. La sucesión está acotada, en consecuencia no puede ser divergente. Por otra parte, $a_{2n}=\cos2n\pi =1$ y $a_{2n+1}=\cos (2n+1)\pi=-1,$ es decir existen dos subsucesiones con límites distintos, lo cual implica que $\{a_n\}$ no es convergente.

ANEXO TEÓRICO
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