Propiedades de los límites (1)

Proporcionamos ejercicios sobre las propiedades de los límites.

    Enunciado
  1. Demostrar que toda sucesión convergente está acotada.
  2. Dar un ejemplo de una sucesión acotada y no convergente.
  3. Demostrar que toda sucesión constante $\{a_n\}=\{k\}$ converge a $k.$
  4. Demostrar que si dos sucesiones $\{a_n\}$ y $\{b_n\}$ son convergentes, entonces $\lim\;(a_n+b_n)=\lim a_n+\lim b_n,$ es decir que el límite de la suma es la suma de los límites.
  5. Demostrar que el producto de un infinitésimo por una sucesión acotada es también un infinitésimo.
  6. Demostrar que si dos sucesiones $\{a_n\}$ y $\{b_n\}$ son convergentes, entonces $\lim a_nb_n=\left(\lim a_n\right)\left(\lim b_n\right),$ es decir que el límite del producto es el producto de los límites.
  7. Sea $\{a_n\}\to a\in\mathbb{R}$ y $k\in\mathbb{R}.$ Demostrar que $\{ka_n\}\to ka,$ es decir que el límite de una constante por una sucesión es la constante por el límite de la sucesión.
  8. Sea $\{a_n\}$ una sucesión con $a_n\neq 0$ para todo $n.$ Demostrar que si $\{a_n\}\to a$ con $a$ número real no nulo, entonces $\left\{\dfrac{1}{a_n}\right\}\to \dfrac{1}{a}.$
  9. Sean $\{a_n\}$ y $\{b_n\}$ dos sucesiones convergentes tales que $\{a_n\}\to a$ con $a\neq 0,$ $a_n\neq 0$ para todo $n,$ y $\{b_n\}\to b.$ Demostrar que $\left\{\dfrac{b_n}{a_n}\right\}\to \dfrac{b}{a}.$ En otras palabras, que el límite del cociente es el cociente de los límites si el límite del denominador es no nulo.
  10. Sean $\{a_n\},$ $\{b_n\},$ $\{c_n\}$ y $\{d_n\}$ sucesiones tales que: $$\lim a_n=3,\;\lim b_n=-5,\;\lim c_n=4,\;\lim d_n=0.$$ Calcular $L=\lim \dfrac{2a_n+b_n^2}{3c_n-8d_n}.$
    Solución
  1. Sea $(a_n)$ una sucesión convergente de límite $a\in\mathbb{R}.$ Elijamos $\epsilon=1.$ Existe $n_0$ número natural tal que si $n\geq n_0$ se verifica $\left|a_n-a\right|<1.$ Entonces, $$n\geq n_0\Rightarrow \left|a_n\right|= \left|a_n-a+a\right|\leq \left|a_n-a\right|+\left|a\right|\leq 1+ \left|a\right| .$$ Por otra parte, el conjunto finito $\left\{\left|a_1\right|,\left|a_2\right|,\ldots,\left|a_{n_0}\right|\right\}$ está acotado por el número $M=\max \left\{\left|a_1\right|,\left|a_2\right|,\ldots,\left|a_{n_0}\right|\right\},$ lo cual implica que $\left|a_n\right|\leq 1+\left|a\right|+M$ para todo $n=1,2,\ldots,$ y por tanto la sucesión $(a_n)$ está acotada.
  2. Hemos visto que la sucesión $a_n=(-1)^n$ no  es convergente, sin embargo $\left|(-1)^n\right|=1$ para todo $n,$ luego está acotada.
  3. Sea $\{a_n\}=\{k\}$ una sucesión constante, es decir que para todo $n$ verifica $a_n=k\in\mathbb{R}.$ Sea $\epsilon >0.$ Entonces, para todo $n\geq 1$ se cumple $$\left|a_n-k\right|=\left|k-k\right|=0<\epsilon,$$ por tanto $\lim a_n=k.$
  4. En efecto, supongamos que $\lim a_n=a$ y $\lim b_n=b.$ Si $\epsilon >0,$ existe $n_0$ natural tal que $\left|a_n-a\right|<\epsilon /2$ si $n\geq n_0,$ y existe $n_1$ natural tal que $\left|b_n-b\right|<\epsilon /2$ si $n\geq n_1.$ Entonces, para todo $n\geq \max \{n_0,n_1\}$ se verifica: $$\left|(a_n+b_n)-(a+b)\right|\leq \left|a_n-a\right|+\left|b_n-b\right|<\frac{\epsilon}{ 2}+\frac{\epsilon}{ 2}=\epsilon.$$ Es decir, $\lim\;(a_n+b_n)=a+b=\lim a_n+\lim b_n.$
  5. Sea $\{b_n\}$ una sucesión acotada, es decir existe $K>0$ tal que $b_n\leq K$ para todo $n.$ Sea $\{a_n\}$ un infinitésimo, es decir $\{a_n\}\to 0.$ Entonces, para todo $\epsilon >0$ existe $n_0$ natural tal que si $n\geq n_0,$ se verifica $\left|a_n-0\right|=\left|a_n\right|<\epsilon/K.$ Tenemos: $$\left|a_nb_n-0\right|=\left|a_n\right|\left|b_n\right|<\frac{\epsilon}{K}\cdot K=\epsilon,$$ para todo $n\geq n_0,$ lo cual implica que $\lim a_nb_n=0,$ es decir $\left\{a_nb_n\right\}$ es un infinitésimo.
  6. Supongamos que $\lim a_n=a$ y $\lim b_n=b.$ Para todo $n$ se verifica: $$a_nb_n-ab=a_nb_n-ab_n+ab_n-ab=(a_n-a)b_n+a(b_n-b).$$ Dado que $\{a_m-a\}\to 0$ y que $\{b_n\}$ está acotada (por ser convergente), $\{(a_n-a)b_n\}\to 0.$ Análogamente, $\{a(b_n-b)\}\to 0.$

    Esto implica $\{a_nb_n-ab\}\to 0$ o equivalentemente: $$\lim a_nb_n=ab=\left(\lim a_n\right)\left(\lim b_n\right).$$

  7. Usando que el límite de una sucesión constante es la propia constante y que el límite del producto es el producto de los límites: $$\lim k a_n=\lim k\cdot\lim a_n=ka=k\lim a_n.$$
  8. Para todo $n$ se verifica:$$\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a}=\frac{a-a_n}{a_na}=\frac{a-a_n}{a}\cdot\frac{1}{a_n}.$$ Por hipótesis $\{a_n\}\to a,$ por tanto $$\left\{\frac{a-a_n}{a}\right\}\to 0\cdot\frac{1}{a}=0.$$ Si demostramos que $\{1/a_n\}$ está acotada, entonces $\{1/a_n-1/a\}\to 0,$ pues sería el producto de una acotada por un infinitésimo.

    Veamos en efecto que $\{1/a_n\}$ está acotada. Tomando $\epsilon=|a|/2,$ existe $n_0$ natural tal que $\left|a_n-a\right|<|a|/2$ para todo $n\geq n_0,$ con lo cual: $$\left|a_n\right|=\left|a-(a-a_n)\right|\geq \left|a\right|-\left|a-a_n\right|>\left|a\right|-\left|a\right|/2=\left|a\right|/2.$$ Esto implica que $\{1/a_n\}\leq 2/|a|$ si $n\geq n_0,$ es decir $\{1/a_n\}$ está acotada. Hemos demostrado que $\{1/a_n-1/a\}\to 0,$ o equivalentemente que $\{1/a_n\}\to 1/a.$

  9. Usando el problema anterior y que el límite del producto es el producto de los límites: $$\lim \frac{b_n}{a_n}=\lim b_n\cdot \frac{1}{a_n}=b\cdot \frac{1}{a}=\frac{\lim b_n}{\lim a_n}$$
  10. Usando conocidas propiedades de los límites de las sucesiones convergentes:$$L=\frac{2\cdot3+(-5)^2}{3\cdot 4-8\cdot 0}=\frac{31}{12}.$$
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