En este problema se demuestra que el número pi es irracional.
- Sean $p,q,n\in{\mathbb{N}^*}$. Se considera la función polinómica $$P_n(x)=\displaystyle\frac{1}{n!}x^n(qx-p)^n.$$ Demostrar que $P_n^{(r)}(0)\in \mathbb{Z}$ para todo $r=0,1,2,\ldots$
- Demostrar $P_n^{(r)}(p/q)\in \mathbb {Z}$ para todo $r=0,1,2,\ldots$
- Hallar el máximo de la función $\left |{P_n(x)}\right |$ sobre el intervalo $[0,p/q]$.
- Sean $p$ y $q$ tales que $\pi \leq p/q$. Demostrar que $\lim_{n \to \infty}{I_n}=0$, siendo: $$I_n=\displaystyle\int_0^{\pi}P_n(x)\sin x\;dx.$$
- Supongamos que $\pi$ sea racional e igual a $p/q$, demostrar que $\left |{I_n}\right |$ es entero positivo para todo $n$. ¿Qué conclusión se saca de estos resultados?
Enunciado
- El polinomio $P_n(x)$ tiene grado $2n$. Esto implica que $P_n^{(r)}(0)=0$ para $r>2n$. Aplicando la fórmula de Maclaurin a $P_n(x)$ obtenemos: $$P_n(x)=\displaystyle\sum_{r=0}^{2n}\displaystyle\frac{p_n^{(r)}(0)}{r!}x^r=\displaystyle\sum_{r=0}^{n-1}\displaystyle\frac{p_n^{(r)}(0)}{r!}x^r+\displaystyle\sum_{r=n}^{2n}\displaystyle\frac{p_n^{(r)}(0)}{r!}x^r.\quad (1)$$ Aplicando la fórmula del binomio de Newton: $$P_n(x)=\displaystyle\frac{1}{n!}x^n\displaystyle\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\displaystyle\binom{n}{k}q^{n-k}p^kx^{n-k}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{(-1)^k}{n!}\displaystyle\binom{n}{k}q^{n-k}p^kx^{2n-k}.\quad (2)$$ Cuando $k$ varía de $0$ a $n$, $2n-k$ varía de $2n$ a $n$. En consecuencia, $P_n^{(r)}(0)=0$ si $0\leq{r}<n$. Falta pues demostrar que $P_n^{(r)}(0)\in \mathbb{Z}$ si $n\leq r \leq 2n$. Haciendo el cambio $r=2n-k$ e identificando coeficientes en $(1)$ y $(2)$ obtenemos: $$P_n^{(r)}(0)=\displaystyle\frac{r!}{n!}(-1)^{2n-r}\displaystyle\binom{n}{2n-r}q^{r-n}p^{2n-r}\in \mathbb{Z}.$$
- Se verifica: $$P_n\left(\dfrac{p}{q}-x\right)=\dfrac{1}{n!}\left(\dfrac{p}{q}-x\right)^n(-qx)^n=\dfrac{1}{n!}(qx-p)^nx^n=P_n(x).\quad (3)$$ Derivando la igualdad $P_n(p/q-x)=P_n(x)$ deducida de $(3)$ y sustituyendo en $0$ obtenemos: $$P_n^{(r)}\left(\dfrac{p}{q}-x\right)=(-1)^rP_n^{(r)}(x), \quad P_n^{(r)}\left(\dfrac{p}{q}\right)=(-1)^rP_n^{(r)}(0)\in{\mathbb{Z}}.$$
- Podemos escribir $\left |{P_n(x)}\right |=(1/n!)\left |{x(qx-p)}\right |^n$, por tanto el máximo de $\left |{P_n(x)}\right |$ sobre $[0,p/q]$ se obtiene en el mismo punto que el máximo de $\left |{x(qx-p)}\right |$. La función $f(x)=x(qx-p)=qx^2-px$ representa una parábola. Tenemos: $$f'(x)=0\Leftrightarrow 2qx-p=0 \Leftrightarrow x=p/2q, \quad f(0)=f(p/q)=0.$$ El máximo de $f$ en $[0,p/q]$ es $0$ y el mínimo $f(p/(2q))=-p^2/(4q)$. El máximo de $\left |{f(x)}\right |$ en $[0,p/q]$ es por tanto $p^2/(4q)$ y el de $\left |{P_n(x)}\right |$ es: $$M=\dfrac{1}{n!}\left(\dfrac{p^2}{4q}\right)^n.$$
- Por el teorema de la media del cálculo integral podemos escribir: $$I_n=\displaystyle\int_0^{\pi}P_n(x)\sin x\;dx=\pi P_n(c) \sin c,\quad (0<c<\pi\leq p/q).$$ Por el apartado anterior $0\leq |I_n|\leq \pi M$. Como $M$ es de la forma $a^n/n!$, tiende a $0$. En consecuencia $|I_n|\rightarrow 0$ cuando $n\rightarrow 0$.
- Sea $Q(x)$ un polinomio cualquiera. Aplicando dos veces la fórmula de integración por partes obtenemos: $$\displaystyle\int_0^{\pi}Q(x)\sin x\;dx=Q(\pi)+Q(0)+\displaystyle\int_0^{\pi}Q'(x)\cos x\;dx\\
=Q(\pi)+Q(0)-\displaystyle\int_0^{\pi}Q»(x)\sin x\;dx.\quad (4)$$ Aplicando reiteradamente $(4)$ obtenemos: $$I_n=[P_n(\pi)+P_n(0)]-[P»_n(\pi)+P»_n(0)]+\ldots +
(-1)^{n}[P_n^{(2n)}(\pi)+P_n^{(2n)}(0)]$$ Usando los resultados del segundo apartado: $$P_n^{(r)}(\pi)=P_n^{(r)}\left(\dfrac{p}{q}\right)=(-1)^rP_n^{(r)}(0)\in \mathbb{Z}.$$ Con lo cual obtenemos: $$I_n=2[P_n(0)-P»_n(0)+P_n^{(4)}(0)-\ldots +(-1)^nP_n^{(2n)}(0)]\in \mathbb{Z}.$$ Por otra parte, $I_n=\pi P_n(c) \sin c$ con $0<c<\pi\leq p/q$. Del estudio hecho de la parábola $f(x)=x(qx-p)$ deducimos que $P_n(c)\neq 0$, además $\sin c\neq 0$. Esto implica que $I_n$ es un entero no nulo, en consecuencia $|I_n|\geq 1$ para todo $n$. Entonces, de la hipótesis de ser $\pi=p/q$ un número racional hemos demostrado que existe una sucesión $|I_n|$ con límite $0$ tal que $|I_n|\geq 1$ para todo $n$ lo cual es absurdo. Se concluye pues que $\pi$ es un número irracional.
Solución