Teorema de Lagrange

Proporcionamos ejercicios sobre el Teorema de Lagrange.

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Comprobar que se verifican las hipótesis del teorema de Lagrange para la función $f(x)=x-x^3$ en el intervalo $[-2,1].$ Hallar el $c$ o los $c$ correspondientes.
  2. Aplicar el teorema de Lagrange para acotar el error que se comete al tomar $100$ como valor aproximado de $\sqrt{10\;001}$.
  3. Demostrar que $\left|\text{sen }x-\text{sen }y\right|\leq \left|x-y\right|$ para todo $x,y$ números reales, usando el teorema del valor medio de Lagrange.
  4. Demostrar el teorema del valor medio de Lagrange:
    Sea $ f:[a,b]\to \mathbb{R} $ una función. Supongamos que se verifica:
    $(i)\; f $ es continua en $[a,b].$ $(ii)\;f$ es derivable en $ (a,b).$
    Entonces, existe al menos un $ c\in (a,b) $ tal que $ f’(c)=\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}. $
  5. Verificar la validez del teorema de Lagrange para la función $f(x)=x^{4/3}$ en el intervalo $[-1,1]$.
  6. En el segmento de la parábola $y=x^2$ comprendido entre los puntos $A(1,1)$ y $B(3,9)$ hallar un punto cuya tangente sea paralela a la cuerda $AB$.
  7. Aplicar el teorema de Lagrange para demostrar la fórmula $$\text{sen }(x+h)-\text{sen }x=h\cos c\quad (x<c<x+h).$$
  8. Si $f$ es derivable en $[0.+\infty)$ y $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f’(x)=A$, calcular el límite $$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{f(2x)-f(x)}{x}.$$
  9. Demostrar que si $f’(x)=0$ en un intervalo $(a,b)$ entonces $f$ es constante en $(a,b)$.
    Solución
  1. Veamos que se verifican las hipótesis del teorema.
    (i) $f $ es evidentemente continua en $[-2,1] $ (teorema de continuidad de las funciones elementales).
    (ii) $ f$ es derivable en $(-2,1)$ (teoremas de derivación de funciones elementales) siendo su derivada $ f’(x)=1-3x^2.$ Como consecuencia del Teorema de Lagrange, existe al menos un $c\in (-2,1)$ tal que $$f’(c)=\displaystyle\frac{f(1)-f(-2)}{1-(-2)}.$$ Procedamos a hallar estos valores de $c:$ $$\displaystyle\begin{aligned}
    &f’(c)=\displaystyle\frac{f(1)-f(-2)}{1-(-2)}\Leftrightarrow 1-3c^2=-2\\ & \Leftrightarrow c^2=1\Leftrightarrow c=1\;\vee \;c=-1.
    \end{aligned}$$ El primer $c$ no pertenece al intervalo $(-2,1)$ y el segundo, sí.
  2. Consideremos la función $f:[10\;000,10\;001]\to \mathbb{R},\;f(x)=\sqrt{x}$. Ésta función es elemental y está definida en el intervalo cerrado elegido, por tanto es continua en él. Por un conocido teorema de derivación, $f’(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ derivada que existe en el correspondiente intervalo abierto. De acuerdo con el teorema de Lagrange existe un $c$ en el intervalo abierto $(10000,10001)$ tal que $$f’(c)=\frac{f(10\;001)-f(10\;000)}{10\;001-10\;000}\text{, o bien }\dfrac{1}{2\sqrt{c}}=\sqrt{10\;001}-100.$$ Dado que $10\;000<c$ se verifica: $$\sqrt{10\;001}-100=\dfrac{1}{2\sqrt{c}}< \frac{1}{2\sqrt{10\;000}}<\frac{1}{2\cdot 100}=\frac{1}{200}=0.005.$$ El error es por tanto menor que $0.005$.
  3. Si $x=y$ queda $|\text{sen }x-\text{sen }y| =|x-y|=0$ y por tanto la desigualdad es válida. Supongamos que $x<y$. Aplicando el teorema de Lagrange a la función seno en el intervalo $[x,y]:$ $$\text{sen }x-\text{sen }y=(x-y)\cos c,\text{ para algún }c\in (x,y).$$ Tomando valores absolutos y usando que $|\cos c|\leq 1:$ $$|\text{sen }x-\text{sen }y| =|\cos c||x-y|\leq |x-y|.$$ Si $x>y$ obtenemos la misma desigualdad intercambiando los papeles de $x$ e $y$.
  4. Consideremos la función $g:[a,b]\to \mathbb{R}$ definida por $$g(x)=f(x)-\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\;(x-a)-f(a).$$ Es fácil demostrar que la función $g$ satisface las hipótesis del teorema de Rolle. Como consecuencia, existe $c\in (a,b)$ tal que $g’(c)=0.$ Equivalentemente
    $f’(c)-\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$ o bien, $f’(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}.$
  5. La función $f(x)=x^{4/3}=\sqrt[3]{x^4}$ es función elemental y está definida en todo $\mathbb{R}$, en consecuencia es continua en $\mathbb{R}$ (en particular en $[-1,1]$). Su derivada existe en todo $\mathbb{R}$ y es $f’(x)=(4/3)x^{1/3}=(4/3)\sqrt[3]{x}$. Como consecuencia del teorema de Lagrange, existe al menos un $c\in (-1,1)$ tal que $$f’(c)=\frac{f(1)-f(-1)}{1-(-1)}\text{ o bien } \frac{4\sqrt[3]{c}}{3}=0.$$ Esta igualdad se verifica para $c=0\in (-1,1).$
  6. La función $f(x)=x^2$ satisface claramente las hipótesis del teorema de Lagrange en el intervalo $[1,3]$. La abscisa del punto pedido sabemos que corresponde a cualquier $c$ satisfaciendo: $$f’(c)=\frac{f(3)-f(1)}{3-1}\text{, o equivalentemente }2c=4.$$ Es decir, $c=2$ y el punto pedido es por tanto $P(2,2^2)=P(2,4)$.
  7. La función $f(t)=\text{sen }t$ es derivable (y por tanto continua) en $\mathbb{R}$. En consecuencia satisface las hipótesis del teorema de Lagrange en el intervalo $[x,x+h]$. Esto implica que existe $c\in (x,x+h)$ tal que $$f’(c)=\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}=\frac{\text{sen }(x+h)-\text{sen }x}{h}.$$ Dado que $f’(c)=\cos c$, queda $\text{sen }(x+h)-\text{sen }x=h\cos c$ con $x<c<x+h$.
  8. Para todo $x>0$ tenemos $x<2x$. Al ser $f$ derivable en $[0.+\infty)$, es continua en $[x,2x]$ y derivable en $(x,2x)$. Por el teorema de Lagrange, existe un $c$ (que depende de $x$) tal que $$f’(c)=\frac{f(2x)-f(x)}{2x-x}=\frac{f(2x)-f(x)}{x}.$$ Teniendo en cuenta que si $x\to +\infty$ entonces $c\to +\infty:$ $$\lim_{x\to +\infty}\frac{f(2x)-f(x)}{x}=\lim_{x\to +\infty}f’(c)=\lim_{c\to +\infty}f’(c)=A.$$
  9. Sean $x_1$ y $x_2$ dos puntos de $(a,b)$ con $x_1<x_2$. Como $f$ es derivable en $(a,b)$, es derivable en $(x_1,x_2)$ y continua en $[x_1,x_2]$. Por tanto podemos aplicar el teorema de Lagrange a la función $f$ en el intervalo $[x_1,x_2]$, es decir existe $c\in (x_1,x_2)$ tal que $$f(x_1)-f(x_2)=f’(c)(x_2-x_1).$$ Como $f’(x)=0$ para todo $x\in (a,b)$ se deduce $f(x_1)-f(x_2)=0$ o equivalentemente $f(x_1)=f(x_2)$. Hemos demostrado que $f(x_1)=f(x_2)$ para cualquier par de números $x_1$ y $x_2$ en $(a,b)$ lo cual implica que $f$ es constante en $(a,b)$.
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