Teorema de Lagrange

Proporcionamos ejercicios sobre el Teorema de Lagrange.

TEORÍA

1 Comprobar que se verifican las hipótesis del teorema de Lagrange para la función $f(x)=x-x^3$ en el intervalo $[-2,1].$ Hallar el $c$ o los $c$ correspondientes.

SOLUCIÓN

2 Aplicar el teorema de Lagrange para acotar el error que se comete al tomar $100$ como valor aproximado de $\sqrt{10\;001}$.

SOLUCIÓN

3 Demostrar que $\left|\text{sen }x-\text{sen }y\right|\leq \left|x-y\right|$ para todo $x,y$ números reales, usando el teorema del valor medio de Lagrange.

SOLUCIÓN

4  Demostrar el teorema del valor medio de Lagrange:
Sea $ f:[a,b]\to \mathbb{R} $ una función. Supongamos que se verifica:
$(i)\; f $ es continua en $[a,b].$ $(ii)\;f$ es derivable en $ (a,b).$
Entonces, existe al menos un $ c\in (a,b) $ tal que $ f’(c)=\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}. $

SOLUCIÓN

5 Verificar la validez del teorema de Lagrange para la función $f(x)=x^{4/3}$ en el intervalo $[-1,1]$.

SOLUCIÓN

6 En el segmento de la parábola $y=x^2$ comprendido entre los puntos $A(1,1)$ y $B(3,9)$ hallar un punto cuya tangente sea paralela a la cuerda $AB$.

SOLUCIÓN

7 Aplicar el teorema de Lagrange para demostrar la fórmula $$\text{sen }(x+h)-\text{sen }x=h\cos c\quad (x<c<x+h).$$

SOLUCIÓN

8 Si $f$ es derivable en $[0.+\infty)$ y $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f’(x)=A$, calcular el límite $$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{f(2x)-f(x)}{x}.$$

SOLUCIÓN

9 Demostrar que si $f’(x)=0$ en un intervalo $(a,b)$ entonces $f$ es constante en $(a,b)$.

SOLUCIÓN
Esta entrada fue publicada en Cálculo/Análisis. Guarda el enlace permanente.