Teorema del valor medio de Cauchy

Proporcionamos ejercicios sobre el teorema del valor medio de Cauchy.

TEORÍA

1 Comprobar que se verifican las hipótesis del teorema del valor medio de Cauchy para las funciones  $f,g:[1,2]\to \mathbb{R}$ definidas por: $$f(x)=x^2+2,\;g(x)=x^3-1.$$ Hallar el $c$ o los $c$ correspondientes.

SOLUCIÓN

2 Comprobar que se verifican las hipótesis del teorema del valor medio de Cauchy para las funciones  $f,g:[0,\pi/2]\to \mathbb{R}$ definidas por $$f(x)=\textrm{sen}\;x,\;g(x)=\cos x.$$  Hallar el $c$ o los $c$ correspondientes.

SOLUCIÓN

3 Demostrar el teorema del valor medio de Cauchy:
Sean $f,g:[a,b]\to \mathbb{R}$ dos funciones tales que:
$(i)\;f$ y $g$ son continuas en $[a,b].$ $(ii)\;f$ y $g$ son derivables en $(a,b).$ $(iii)\;g’(x)\neq 0$ para todo $x\in (a,b).$ Entonces, existe un $c\in (a,b)$ tal que $$\displaystyle\frac{f’(c)}{g’(c)}=\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}.$$

SOLUCIÓN
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