Concepto de relación de orden

Proporcionamos ejercicios sobre el concepto de relación de orden.

Enunciado
1. Demostrar que en el conjunto $\mathbb{R}$ de los números reales, la relación $xRy$ si y sólo si $x\leq y,$ es de orden.
2. Demostrar que en el conjunto $\mathcal{P}(U)$ de las partes de un conjunto $U,$ la relación $XRY$ si y sólo si $X\subset Y,$ es de orden.
3. En el conjunto $\mathbb{R}$ de los números reales se define la relación $xRy$ $\Leftrightarrow$ $x^3\leq y^3.$ Demostrar que $R$ es relación de orden.
4. En el conjunto $\mathbb{Z}$ de los números enteros se define la relación $xRy$ $\Leftrightarrow$ $ x^2\leq y^2.$ Analizar si $R$ es relación de orden.
5. En el conjunto $\mathbb{N}^*=\{1,2,3,\ldots\}$ se define la relación $xRy$ $\Leftrightarrow$ $x\text{ divide a } y.$ Demostrar que $R$ es relación de orden.
6. En $\mathbb{Z},$ se define la relación $xRy\Leftrightarrow x=5y.$ Analizar si es relación de orden.
7. En el conjunto $\mathbb{Z}$ de los números enteros se define la relación $xRy,$ si y sólo si, existe un número entero no negativo $n$ tal que $y-x=2n.$ Analizar si $R$ es relación de orden.
8. Sea $A$ un conjunto y $\mathcal{R}$ el conjunto de todas las relaciones binarias en $A.$ Se define en $\mathcal{R}$ la relación $R\leq S$ $\Leftrightarrow$ $\left(xRy\Rightarrow xSy\quad(\forall x,y\in A) \right).$ Demostrar que $\leq$ es relación de orden en $\mathcal{R}.$
9. En $\mathbb{N}$ se considera la relación $nRm$ si y sólo si existe $k\in\mathbb{N}$ tal que $m^2-n^2=k.$ Demostrar que es relación de orden.

Solución
1. En efecto, para todo $x\in\mathbb{R}$ se verifica $x\leq x$ (reflexiva). Si $x\leq y$ e $y\leq x,$ entonces $x=y$ (antisimétrica). Si $x\leq y$ e $y\leq z,$ entonces $x\leq z$ (transitiva).
2. En efecto, para todo $X\in\mathcal{P}(U)$ se verifica $X\subset X$ (reflexiva). Si $X\subset Y$ e $Y\subset X,$ entonces $X=Y$ (antisimétrica). Si $X\subset Y$ e $Y\subset Z,$ entonces $X\subset Z$ (transitiva).
3. $(i)$ Reflexiva. Para todo $x\in\mathbb{R}$ se verifica $x^3\leq x^3,$ es decir $xRx.$
   $(ii)$ Antisimétrica. Para todo $x,y\in\mathbb{R}:$ $$\left \{ \begin{matrix} xRy\\yRx\end{matrix}\right.\Rightarrow \left \{ \begin{matrix} x^3\leq y^3\\y^3\leq x^3\end{matrix}\right.\Rightarrow x^3=y^3 \Rightarrow \sqrt[3]{x^3}=\sqrt[3]{y^3}\Rightarrow x=y.$$ $(iii)$ Transitiva. Para todo $x,y,z\in\mathbb{R}:$ $$\left \{ \begin{matrix} xRy\\yRz\end{matrix}\right.\Rightarrow \left \{ \begin{matrix} x^3\leq y^3\\y^3\leq z^3\end{matrix}\right.\Rightarrow x^3\leq z^3 \Rightarrow xRz.$$
4. $(i)$ Reflexiva. Para todo $x\in\mathbb{Z}$ se verifica $x^2\leq x^2,$ es decir $xRx.$
   $(ii)$ Antisimétrica. No se verifica. En efecto, se cumple $(-1)^2\leq 1^2$ y $1^2\leq (-1)^2,$ es decir $(-1)R1$ y $1R(-1).$ Sin embargo, $-1\neq 1.$ Concluimos que $ R $ no es relación de orden.
5. El que $x$ divida a $y$ equivale a decir que existe $k\in \mathbb{N}^*$ tal que $y=kx.$
   $(i)$ Reflexiva. Para todo $x\in\mathbb{R}$ se verifica $x=1x,$ es decir $xRx.$
   $(ii)$ Antisimétrica. Para todo $x,y\in\mathbb{N}^*:$ $$\left \{ \begin{matrix} xRy\\yRx\end{matrix}\right.\Rightarrow \left \{ \begin{matrix} \exists k\in \mathbb{N}^*:y=kx\\\exists r\in \mathbb{N}^*:x=ry\end{matrix}\right.\Rightarrow xy=krxy \Rightarrow kr=1.$$ Ahora bien, como $k,r$ son naturales, ha de ser necesariamente $k=r=1$ y por tanto $x=y.$
   $(iii)$ Transitiva. Para todo $x,y,z\in\mathbb{N}^*:$ $$\left \{ \begin{matrix} xRy\\yRz\end{matrix}\right.\Rightarrow \left \{ \begin{matrix} \exists k\in \mathbb{N}^*:y=kx\\ \exists r\in \mathbb{N}^*:z=ry\end{matrix}\right.\Rightarrow z=(rk)x.$$ Dado que $rk\in\mathbb{N}^*,$ se verifica $xRz.$ Concluimos que $R$ es relación de orden.
6. Elijamos (por ejemplo) $x=1.$ Entonces, $1\neq 5\cdot 1,$ es decir $1\not R 1.$ No se cumple la propiedad reflexiva, por tanto $R$ no es relación de orden.
7. $(i)$ Reflexiva. Para todo $x\in\mathbb{R}$ se verifica $x-x=2\cdot0,$ es decir $xRx.$
   $(ii)$ Antisimétrica. Para todo $x,y\in\mathbb{R}:$ $$\left \{ \begin{matrix} xRy\\yRx\end{matrix}\right.\Rightarrow \left \{ \begin{matrix} \exists n\text{ entero no negativo}:y-x=2n\\\exists m\text{ entero no negativo}:x-y=2m\end{matrix}\right.\Rightarrow 0=2(n+m).$$ La igualdad $2(n+m)=0$ implica $n+m=0.$ Ahora bien, como $n,m$ son enteros no negativos, ha de ser necesariamente $n=m=0$ y por tanto $x=y.$
   $(iii)$ Transitiva. Para todo $x,y,z\in\mathbb{R}:$ $$\left \{ \begin{matrix} xRy\\yRz\end{matrix}\right.\Rightarrow \left \{ \begin{matrix} \exists n\text{ entero no negativo}:y-x=2n\\\exists m\text{ entero no negativo}:z-y=2m\end{matrix}\right.\Rightarrow z-x=2(n+m).$$ Dado que $n+m$ es entero no negativo, se verifica $xRz.$ Concluimos que $R$ es relación de orden.
8. Reflexiva. Para todo $R\in \mathcal{R},$ trivialmente se verifica $xRy\Rightarrow xRy$ para todo $x,y\in A.$ Es decir, $R\leq R.$
   Antisimétrica. Sean $R,S\in \mathcal{R}$ tales que $R\leq S$ y $S\leq R.$ Entonces, para todo $x,y\in A$ se verifican las implicaciones $xRy\Rightarrow xSy$ y $xSy\Rightarrow xRy$. Por tanto, para todo $x,y\in A$ se verifica $xRy\Leftrightarrow xSy,$ lo cual implica $R=S.$
   Transitiva. Sean $R,S,T\in\mathcal{R}.$ Entonces, para todo $x,y\in A$ se verifica: $$\left \{ \begin{matrix} R\leq S\\S\leq T\end{matrix}\right.\Rightarrow\left \{ \begin{matrix} xRy\Rightarrow xSy \\xSy\Rightarrow xTy \end{matrix}\right.\Rightarrow (xRy\Rightarrow xTy)\Rightarrow R\leq T.$$ Concluimos que $\leq$ es relación de orden en $\mathcal{R}.$
9. $(i)$ Reflexiva. Para todo $n\in\mathbb{N}$ se verifica $n^2-n^2=0\in\mathbb{N}$. luego $nRn.$
   $(ii)$ Antisimétrica. Si $nRm$ y $mRn$, entonces existen $k,s$ números naturales tales que $m^2-n^2=k$ y $n^2-m^2=s.$ Sumando miembro a miembro las anteriores igualdades, queda $k+s=0$ y al ser $k,s$ naturales, $k=s=0$ lo cual implica $n^2=m^2$ y por ende, $m=n.$
   $(iii)$ Transitiva. Si $nRm$ y $mRr$, entonces existen $k,s$ números naturales tales que $m^2-n^2=k$ y $r^2-m^2=s.$ Sumando miembro a miembro las anteriores igualdades, queda $r^2-n^2=k+s\in\mathbb{N}$, luego $nRr.$