Concepto de relación de orden

Proporcionamos ejercicios sobre el concepto de relación de orden.

TEORÍA

1  Demostrar que en  el conjunto $\mathbb{R}$ de los números reales, la relación $xRy$ si y sólo si $x\leq y,$ es de orden.

SOLUCIÓN

2  Demostrar que en el conjunto $\mathcal{P}(U)$ de las partes de un conjunto $U,$ la relación $XRY$ si y sólo si $X\subset Y,$ es de orden.

SOLUCIÓN

3  En el conjunto $\mathbb{R}$ de los números reales se define la relación $xRy$ $\Leftrightarrow$  $x^3\leq y^3.$ Demostrar que $R$ es relación de orden.

SOLUCIÓN

4  En el conjunto $\mathbb{Z}$ de los números enteros se define la relación $xRy$ $\Leftrightarrow$ $ x^2\leq y^2.$ Analizar si $R$ es relación de orden.

SOLUCIÓN

5  En el conjunto $\mathbb{N}^*=\{1,2,3,\ldots\}$ se define la relación $xRy$ $\Leftrightarrow$ $x\text{ divide a } y.$ Demostrar que $R$ es relación de orden.

SOLUCIÓN

6  En $\mathbb{Z},$ se define la relación $xRy\Leftrightarrow x=5y.$ Analizar si es relación de orden.

SOLUCIÓN

7  En el conjunto $\mathbb{Z}$ de los números enteros se define la relación $xRy,$ si y sólo si, existe un número entero no negativo $n$ tal que $y-x=2n.$ Analizar si $R$ es relación de orden.

SOLUCIÓN

8  Sea $A$ un conjunto y $\mathcal{R}$ el conjunto de todas las relaciones binarias en $A.$ Se define en $\mathcal{R}$ la relación $R\leq S$ $\Leftrightarrow$ $\left(xRy\Rightarrow xSy\quad(\forall x,y\in A) \right).$ Demostrar que $\leq$ es relación de orden en $\mathcal{R}.$

SOLUCIÓN
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