Supremo, ínfimo, maximales y minimales

Proporcionamos ejercicios sobre los conceptos de supremo, ínfimo, maximales y minimales.

TEORÍA

1  En $\mathbb{R}$ con el orden usual, determinar $\inf\; (0,1]$ y $\sup\; (0,1].$

SOLUCIÓN

2  En $\mathbb{R}$ con el orden usual, determinar $\inf \;(-\infty,2)$ y $\sup\; (-\infty,2).$

SOLUCIÓN

3  En $\mathbb{R}$ con el orden $\leq$ usual, calcular: $$\begin{aligned}& 1)\;\sup\{1/x:x\in [1,2]\}. & 2)\;\inf\{1/x:x\in (1,2)\}.\\
& 3)\;\sup\{1/x:x>0\}. & 4)\;\inf\{1/x:x\in [0,2]\}.
\end{aligned}$$

SOLUCIÓN

4  Dado $U=\{a,b,c\},$ se establece en $\mathcal{P}(U)$ la relación de orden inclusión. Se pide:
$(a)$  Hallar los elementos maximales de $\mathcal{P}(U)-\{U\}.$
$(b)$ Hallar los elementos minimales de $\mathcal{P}(U)-\{\emptyset\}.$

SOLUCIÓN

5  Demostrar que si un conjunto tiene supremo (ínfimo), entonces es único.

SOLUCIÓN

6  Sea $S\subset \mathbb{R}$ un subconjunto acotado de $\mathbb{R}.$ Demostrar que $a=\sup S$ si y sólo si $a\ge x, \, \forall x\in S$ y además $\forall \, \epsilon >0, \, \exists \, x_0\in S$, tal que $x_0>a-\epsilon.$

SOLUCIÓN

7  Sea el conjunto $S=\{3,4,5,6,7,8,9,10\}$ con la relación de orden $x\leq y$ $\Leftrightarrow$ $x$ divide a $y.$ Se pide:
$(a)$ Hallar los elementos maximales y minimales.
$(b)$ Hallar los subconjuntos de $S$ totalmente ordenados.

SOLUCIÓN
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