Supremo, ínfimo, maximales y minimales

Proporcionamos ejercicios sobre los conceptos de supremo, ínfimo, maximal y minimal.

RESUMEN TEÓRICO
  • Sea $A$ un conjunto con una relación de orden $\leq$ y sea $B\subset A.$ Se dice que $e\in A$ es extremo superior o supremo de $B,$ si y sólo si: $(i)$ $e$ es cota superior de $B.$ $(ii)$ Si $a$ es cota superior de $B,$ entonces $e\leq a.$ Es decir, el extremo superior de un conjunto es la menor de las cotas superiores.
    Análogamente, se dice que $e\in A$ es extremo inferior o ínfimo de $B,$ si y sólo si: $(i)$ $e$ es cota inferior de $B.$ $(ii)$ Si $a$ es cota inferior de $B,$ entonces $a\leq e.$ Es decir, el extremo inferior de un conjunto es la mayor de las cotas inferiores.
  • Sea $A$ un conjunto con una relación de orden $\leq,$ y sea $m\in A.$ Se dice que $m$ es elemento maximal de $A,$ si y sólo si, no existe $x\in A$ con $x\neq m$ tal que $m\leq x.$ Equivalentemente, no existe $x\in A$ tal que $m<x.$
    Análogamente, se dice que $m$ es elemento minimal de $A,$ si y sólo si, no existe $x\in A$ con $m\neq x$ tal que $x\leq m.$ Equivalentemente, no existe $x\in A$ tal que $x<m.$
  • Si $m$ es elemento máximo de $A,$ es claro que es elemento maximal pues $x\leq m$ para todo $x\in A.$ Sin embargo, un elemento $m$ puede ser maximal y no ser máximo. Análogas consideraciones para los elementos mínimo y minimal.
  • Teorema. El supremo (ínfimo) de un conjunto, si existe, es único.
    Enunciado
  1. En $\mathbb{R}$ con el orden usual, determinar $\inf\; (0,1]$ y $\sup\; (0,1].$
  2. En $\mathbb{R}$ con el orden usual, determinar $\inf \;(-\infty,2)$ y $\sup\; (-\infty,2).$
  3. En $\mathbb{R}$ con el orden $\leq$ usual, calcular: $$\begin{aligned}& 1)\;\sup\{1/x:x\in [1,2]\}. & 2)\;\inf\{1/x:x\in (1,2)\}.\\
    & 3)\;\sup\{1/x:x>0\}. & 4)\;\inf\{1/x:x\in (0,2]\}.
    \end{aligned}$$
  4. Dado $U=\{a,b,c\},$ se establece en $\mathcal{P}(U)$ la relación de orden inclusión. Se pide:
    $(a)$ Hallar los elementos maximales de $\mathcal{P}(U)-\{U\}.$
    $(b)$ Hallar los elementos minimales de $\mathcal{P}(U)-\{\emptyset\}.$
  5. Demostrar que si un conjunto tiene supremo (ínfimo), entonces es único.
  6. Sea $S\subset \mathbb{R}$ un subconjunto acotado de $\mathbb{R}.$ Demostrar que $a=\sup S$ si y sólo si $a\ge x, \, \forall x\in S$ y además $\forall \, \epsilon >0, \, \exists \, x_0\in S$, tal que $x_0>a-\epsilon.$
  7. Sea el conjunto $S=\{3,4,5,6,7,8,9,10\}$ con la relación de orden $x\leq y$ $\Leftrightarrow$ $x$ divide a $y.$ Se pide:
    $(a)$ Hallar los elementos maximales y minimales.
    $(b)$ Hallar los subconjuntos de $S$ totalmente ordenados.
    Solución
  1. El conjunto de las cotas inferiores de $(0,1]$ es $(-\infty,0],$ y el máximo de este último conjunto es $0,$ por tanto $\inf \;(0,1]=0.$ El conjunto de las cotas superiores de $(0,1]$ es $[1,+\infty),$ y el mínimo de este último conjunto es $1,$ por tanto $\sup \;(0,1]=1.$
  2. No existen cotas inferiores de $ (-\infty,2),$ por tanto no existe $\inf (-\infty,2).$
    El conjunto de las cotas superiores de $ (-\infty,2)$ es $[2,+\infty),$ y el mínimo de este último conjunto es $2,$ por tanto $\sup \; (-\infty,2)=2.$
  3. 1) Cuando $x$ recorre el intervalo $[1,2],$ $1/x$ recorre el $[1/2,1],$ por tanto el extremo superior es $1$ (mínima de las cotas superiores).
    2) Cuando $x$ recorre el intervalo $(1,2),$ $1/x$ recorre el $(1/2,1),$ por tanto el extremo inferior es $1/2$ (máxima de las cotas inferiores).
    3) Cuando $x$ recorre el intervalo $(0,+\infty),$ $1/x$ recorre el $(0,+\infty),$ por tanto no existe extremo superior.
    4) Cuando $x$ recorre el intervalo $(0,2],$ $1/x$ recorre el $[1/2,+\infty),$ por tanto el extremo inferior es $1/2$ (máxima de las cotas inferiores).
  4. $(a)$ Tenemos $\mathcal{P}(U)-\{U\}=\left\{\emptyset,\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\}\right\}.$ De acuerdo con la definición, los elementos maximales de $\mathcal{P}(U)-\{U\}$ son: $$\{a,b\},\;\{a,c\},\;\{b,c\}.$$ $(b)$ Tenemos $\mathcal{P}(U)-\{\emptyset\}=\left\{\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},U\right\}.$ De acuerdo con la definición, los elementos minimales elementos de $\mathcal{P}(U)-\{U\}$ son: $$\{a\},\;\{b\},\;\{c\}.$$
  5. Sea $A$ un conjunto con una relación de orden $\leq,$ y sea $B\subset A.$ Si existen dos supremos de $B$, $e$ y $e’,$ entonces tanto $e$ como $e’$ son cotas superiores de $B.$ Por ser $e$ la menor de ellas, $e\leq e’$ y por ser $e’$ la menor de ellas, $e’\leq e.$ Por la propiedad antisimétrica, $e=e’.$ Análoga demostración para el ínfimo.
  6. Si $a=\sup S,$ $a$ es cota superior de $S$ y por tanto, $a\geq x$ para todo $x\in S.$ Por otra parte, si no ocurriera que $\forall \, \epsilon >0, \, \exists \, x_0\in S$ tal que $x_0>a-\epsilon,$ entonces, existiría un $\epsilon_0>0$ tal que $x\leq a-\epsilon_0$ para todo $x\in S.$ Esto implicaría que $a-\epsilon_0<a$ sería cota superior de $S$ lo cual contradice que $a$ es la menor de las cotas superiores de $S.$
    Recíprocamente, supongamos que $a\ge x, \, \forall x\in S$ y además $\forall \, \epsilon >0, \, \exists \, x_0\in S$, tal que $x_0>a-\epsilon.$ La primera condición implica que $a$ es cota superior de $S.$ Es además la menor de todas ellas. En efecto, si $b<a$ fuera cota superior de $S,$ eligiendo $\epsilon =a-b>0$ existiría $x_0\in S$ tal que $x_0>a-(a-b)=b,$ lo cual contradice que $b$ es cota superior de $A.$
  7. $(a)$ Un elemento $M\in S$ es maximal si y sólo si, no existe elemento $x\in S$ con $x\neq M$ tal que $M\leq x.$ Es decir, son los elementos $M$ de $S$ que no tienen múltiplos en $S$ distintos de $M.$ Claramente son los elementos $6,7,8,9$ y $10.$
    Un elemento $m\in S$ es minimal si y sólo si, no existe elemento $x\in S$ con $x\neq m$ tal que $x\leq m.$ Es decir, son los elementos $m$ de $S$ que no tienen divisores en $S$ distintos de $m.$ Claramente son los elementos $3,4,5$ y $7.$
    $(b)$ De acuerdo con la definición de orden total, los subconjuntos de $S$ totalmente ordenados son: $$\{a\}:a\in S,\;\{3,6\},\;\{3,9\},\;\{4,8\},\;\{5,10\}.$$ Es claro que no hay subconjuntos de $S$ con tres elementos totalmente ordenados, lo cual implica que ya hemos escrito todos.
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