Orden total, buen orden

Proporcionamos ejercicios de orden total y de buen orden.

TEORÍA

1  En $\mathbb{N}^*=\{1,2,3,\ldots\}$ se considera la relación de orden $x\leq y\Leftrightarrow$ $x$ divide a $y.$ Analizar si es de orden total. ¿Es buen orden?

SOLUCIÓN

2  En $\mathbb{Z},$ se define la relación: $xRy\Leftrightarrow x=y^n$ para algún $n$ entero positivo. Demostrar que es relación de orden. ¿Es buen orden?

SOLUCIÓN

3  Demostrar que todo buen orden es un orden total.

SOLUCIÓN

4  Sea $(\mathbb{R},\leq)$ el conjunto ordenado de los números reales con el orden usual $\leq.$ En $C=\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ se define la relación: $$(x_1,y_1)R(x_2,y_2)\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} \text{si }x_1\neq x_2 \mbox{ entonces } x_1<x_2\\ \text{si }x_1=x_2 \mbox{ entonces } y_1\leq y_2.\end{matrix}\right.$$ $(a)$ Demostrar que $R$ es una relación de orden sobre $C.$
$(b)$ Demostrar que $R$ es una relación de orden total sobre $C.$

SOLUCIÓN

5  ¿Existe un conjunto parcialmente ordenado que posea un único elemento maximal y que sin embargo este no sea máximo?

SOLUCIÓN
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