Proporcionamos ejercicios sobre diagramas de Hasse.
- Consideremos el conjunto $A=\{a,b,c,d,e\}$ con la relación de orden $\le$ dada por el diagrama de Hasse:
Escribir la relación como conjunto de pares ordenados.
- Consideremos el conjunto $A=\{1,2,3,4\}$ con la relación de orden $\le$ usual. Dibujar el correspondiente diagrama de Hasse.
- En el conjunto $A=\{a,b,c,d\}$ se considera la relación: $$\leq=\left\{(a,a),(a,b),(b,b),(b,d),(a,c),(c,c),(c,d),(a,d),(d,d)\right\}.$$ (1) Demostrar que $\leq$ es relación de orden en $A.$
(2) Dibujar el diagrama de Hasse de la relación.
(3) Analizar si $\leq$ es un orden total.
(4) Determinar, si existen, los elementos máximo y mínimo. - En el conjunto $A=\{a,b,c,d,e,f\}$ se considera la relación de orden dada por el diagrama de Hasse:
(1) Analizar la existencia de máximo y mínimo.
(2) Determinar los elementos maximales y minimales.
(3) Determinar los subconjuntos de $A$ totalmente ordenados y con tres elementos.
Enunciado
- Los pares $(x,y)$ de la relación, es decir los que satisfacen $x\le y$ son: $$\begin{aligned}\le &=\{(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,b),(b,c),\\
& \quad\;\;(b,d),(b,e),(c,c),(c,d),(c,e),(d,d),(e,e)\}.
\end{aligned}$$ - Claramente es
- (1) Se comprueba de forma sencilla que se verifican las propiedades, reflexiva, antisimétrica y transitiva.
(2) El diagrama de Hasse de $\le$ es(3) No es relación de orden total pues $c\nleq b$ y $b\nleq c$.
(4) Para todo $x\in A$ se verifica $a\le x$ y $x\le d$, por tanto $a$ es elemento mínimo y $d$ máximo. - (1) No existe elemento de $A$ mayor o igual que todos los demás, ni existe elemento de $A$ menor o igual que todos los demás, por tanto no existe ni máximo ni mínimo.
(2) Los elementos maximales de $A$ son $d$, $e$ y $f$ pues son aquellos para los que no hay ninguno mayor y los minimales son $a$ y $b$ pues son aquellos para los que no hay ninguno menor.
(3) De acuerdo con la definición de orden total, los subconjuntos de $A$ con tres elementos y totalmente ordenados son $$\{a,c,f\},\;\{a,c,e\},\;\{a,c,d\},\;\{b,c,f\},\;\{b,c,e\},\;\{b,c,d\}.$$
Solución