Construcción de ecuaciones diferenciales

Proporcionamos ejercicios sobre la construcción de ecuaciones diferenciales.

Enunciado
1. Formar la ecuación diferencial de las siguientes familias de curvas
$a)\; y=Cx.\quad b)\;y=C_1\cos 2x+C_2\operatorname{sen} 2x$.
2. Encontrar la ecuación diferencial de las siguientes familias de curvas
$a)\;x^2+y^2=C.\quad b)\;y=C_1e^{2x}+C_2e^{- 2x}.$
3. Formar la ecuación diferencial de todas las rectas no verticales del plano.
4. Formar la ecuación diferencial de todas las parábolas del plano $XOY$ con eje vertical.
5. Hallar la ecuación diferencial de las parábolas del plano de la forma $y=Cx^2.$

Solución
Recordemos que para una familia de curvas que dependen de $n$ constantes $$\phi(x,y,C_1,\ldots,C_n)=0,$$ se puede formar la ecuación diferencial cuya solución general es la familia de curvas dada derivando $n$ veces y eliminando $C_1,C_2,\ldots,C_n$ entre las relaciones $$\phi=0\;,\;\dfrac{d\phi}{dx}=0\;,\;\dfrac{d^2\phi}{dx^2}=0\;,\;\ldots\;,\;\dfrac{d^n\phi}{dx^n}=0.$$

1. $a)$ Derivando obtenemos $y’=C$. Sustituyendo en la ecuación dada obtenemos la ecuación diferencial $y=y’x.$
$b)$ Derivando dos veces obtenemos las relaciones: $$ \left \{ \begin{matrix} y=C_1\cos 2x+C_2\operatorname{sen} 2x,\quad (1)\\y’=-2C_1 \operatorname{sen} 2x+2C_2\cos 2x,\quad (2)\\y^{\prime\prime}=-4C_1\cos 2x-4C_2 \operatorname{sen}2x.\quad (3)\end{matrix}\right. $$ Despejando $C_1$ y $C_2$ entre $(1)$ y $(2)$ obtenemos $C_1=(1/2)(2y\cos 2x-y’\operatorname{sen}2x)$ y $C_2=(1/2)(y’\cos 2x+2y \operatorname{sen}2x)$. Sustituyendo estos valores en $(3)$ obtenemos la ecuación diferencial $y^{\prime\prime}+4y=0.$

2. $a)$ Derivando obtenemos $2x+2yy’=0,$ o equivalentemente $x+yy’=0,$ ecuación que también la podemos escribir en la forma $xdx+ydy=0.$

$b)$ Derivando dos veces obtenemos las relaciones: $$ \left \{ \begin{matrix} y=C_1e^{2x}+C_2e^{- 2x},\quad (1)\\y’=2C_1e^ {2x}-2C_2e^ {-2x},\quad (2)\\y^{\prime\prime}=4C_1e^ {2x}+4C_2e^ {-2x}.\quad (3)\end{matrix}\right. $$ Despejando $C_1$ y $C_2$ entre $(1)$ y $(2)$ y sustituyendo en $(3),$ obtenemos la ecuación diferencial $y^{\prime\prime}-4y=0.$

3. Las rectas no verticales del plano son de la forma $y=mx+b.$ Derivando dos veces, obtenemos $y’=m,$ $y^{\prime\prime}=0.$ La ecuación diferencial pedida es por tanto $y^{\prime\prime}=0.$

4. Las parábolas del plano con eje verical.son de la forma $y=ax^2+bx+c$ con $a\neq 0.$ Derivando tres veces, obtenemos $y’=2ax+b,$ $y^{\prime\prime}=2a,$ $y^{\prime\prime\prime}=0.$ La ecuación diferencial pedida es por tanto $y^{\prime\prime\prime}=0.$

5. Derivando obtenemos $y’=2Cx,$ con lo cual $C=y’/2x.$ Sustituyendo en $y=Cx^2:$ $$y=\frac{y’}{2x}x^2, \text{ o bien }xy’-2y=0.$$

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