Composición de funciones

Proporcionamos ejercicios sobre composición de funciones.

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Las funciones $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},$ $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ están definidas por: $$f(x)=\left \{ \begin{matrix} 3x-7 & \mbox{ si }& x>2\\x^2-2|x| & \mbox{si}& x\leq 2\end{matrix}\right.,\quad g(x)=2x+3.$$ Calcular:
    $(i)\;f(-2).$ $(ii)\;g(-1).$ $(iii)\;f(3).$ $(iv)\; (g\circ f)(1).$ $(v)\,(f\circ g)(2).$ $(vi)\;(f\circ f)(4).$
  2. Las funciones $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},$ $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ están definidas por $f(x)=x^2-1$ y $g(x)=2x+5.$ Determinar
    $$g\circ f,\quad f\circ g,\quad f\circ f,\quad g\circ g.$$
  3. Demostrar la propiedad asociativa de la composición de aplicaciones, es decir si $f:A\to B$, $g:B\to C$ y $h:C\to D$, entonces $(h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f).$
    Solución
  1. Usando la definición de composición:
    $(i)$ $f(-2)=(-2)^2-2|-2|=4-4=0.$
    $(ii)$ $g(-1)=2(-1)+3=1.$
    $(iii)$ $f(3)=3\cdot 3-7=2.$
    $(iv)$ $(g\circ f)(1)=g\left(f(1)\right)=g\left(1^2-2\cdot |-1|\right)=g(-1)=2(-1)+3=1.$
    $(v)$ $(f\circ g)(2)=f\left(g(2)\right)=f\left(2\cdot 2+3\right)=f(7)=3\cdot 7-7=14.$
    $(vi)$ $(f\circ f)(4)=f\left(f(4)\right)=f\left(3\cdot 4-7\right)=f(5)=3\cdot 5-7=8.$
  2. Usando la definición de composición:
    $(g\circ f)(x)=g\left(f(x)\right)=g\left(x^2-1 \right)=2(x^2-1)+5=2x^2+3.$
    $(f\circ g)(x)=f\left(g(x)\right)=f\left(2x+5 \right)=(2x+5)^2-1=4x^2+20x+24.$
    $(f\circ f)(x)=f\left(f(x)\right)=f\left(x^2-1 \right)=(x^2-1)^2-1=x^4-2x^2.$
    $(g\circ g)(x)=g\left(g(x)\right)=g\left(2x+5 \right)=2(2x+5)+5=4x+15.$
  3. Para todo $a\in A$ se verifica $$\left((h\circ g)\circ f\right)(a)=(h\circ g)\left(f(a)\right)=h\left(g\left(f(a)\right)\right).$$ $$\left(h\circ (g\circ f)\right)(a)=h\left((g\circ f)(a)\right)=h\left((g\left(f(a)\right)\right).$$ Es decir, $(h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f).$
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