Imágenes directas e inversas de conjuntos

Proporcionamos ejercicos sobre imágenes directas e inversas de conjuntos asociados a una aplicación.

TEORÍA

1  Consideremos $X=\{1,2,3,4\},$ $Y=\{a,b,c\}$, la aplicación $f:X\to Y$ dada por $$f(1)=a,\;f(2)=a,\;f(3)=c,\;f(4)=c,$$ y los conjuntos $A=\{1,3\}$ y $B=\{a,b\}$. Determinar  $f(A)$ y $f^{-1}(B).$

SOLUCIÓN

2  Sea $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ dada por $f(x)=x^2$. Determinar
$(i)\;f^{-1}\left(\{36\}\right).$
$(ii)\;f^{-1}\left(\{-25\}\right).$
$(iii)$ $f^{-1}\left(\{x:x\leq 0\}\right)$.
$(iv)\;f^{-1}\left(\{x:25\leq x\leq 36\}\right).$
$(v)\;f^{-1}\left(\{x:x\geq 0\}\right)$.

SOLUCIÓN

3  Sea $f:X\to Y$ una aplicación. Demostrar que para cualquier par de subconjuntos $A_1$ y $A_2$ de $X$ se verifica:
$(i)\;f\left(A_1\cup A_2\right)=f\left(A_1\right)\cup f\left(A_2\right).$
$(ii)\;f\left(A_1\cap A_2\right)\subset f\left(A_1\right)\cap f\left(A_2\right).$ Dar un contraejemplo que demuestre que en general no se verifica la igualdad.

SOLUCIÓN

4  Sea $f:X\to Y$ una aplicación. Demostrar que para cualquier par de subconjuntos $B_1$ y $B_2$ de $Y$ se verifica:
$(i)\;f^{-1}\left(B_1\cup B_2\right)=f^{-1}\left(B_1\right)\cup f^{-1}\left(B_2\right).$
$(ii)\;f^{-1}\left(B_1\cap B_2\right)= f^{-1}\left(B_1\right)\cap f^{-1}\left(B_2\right).$

SOLUCIÓN

5  Sea $f:X\to Y$ una aplicación. Demostrar que si $\{A_i\}$ es cualquier colección de subconjuntos de $X$, se verifica:
$(i)\;f\left(\bigcup A_i\right)=\bigcup f\left(A_i\right).$
$(ii)\;f\left(\bigcap A_i\right)\subset\bigcap f\left(A_i\right).$

SOLUCIÓN

6  Sea $f:X\to Y$ una aplicación. Demostrar que si $\{B_i\}$ es cualquier colección de subconjuntos de $Y$, se verifica:
$(i)\; f^{-1}\left(\bigcup B_i\right)=\bigcup f^{-1}\left(B_i\right).$
$(ii)\; f^{-1}\left(\bigcap B_i\right)=\bigcap f^{-1}\left(B_i\right).$

SOLUCIÓN

7  Sea $f:X\to Y$ una aplicación. Demostrar que para cualquier par de subconjuntos $A_1$ y $A_2$ de $X$ se verifica:
$(1)\;f\left(A_1- A_2\right)\supset f\left(A_1\right)- f\left(A_2\right).$
$(2)\;A_1\subset A_2\Rightarrow f\left(A_1\right)\subset f\left(A_2\right).$

SOLUCIÓN

8  Sea $f:X\to Y$ una aplicación. Demostrar que para cualquier par de subconjuntos $B_1$ y $B_2$ de $Y$ se verifica:
$(1)\;f^{-1}\left(B_1- B_2\right)= f^{-1}\left(B_1\right)- f^{-1}\left(B_2\right).$
$(2) \;B_1\subset B_2\Rightarrow f^{-1}\left(B_1\right)\subset f^{-1}\left(B_2\right).$

SOLUCIÓN

9  Sea $f:X\to Y$ una aplicación. Sean $A\subset X$ y $B\subset Y$. Demostrar que:
$(1)\; A\subset f^{-1}\left( f(A)\right).\quad (2)\;B\supset f\left(f^{-1}(B)\right).$

SOLUCIÓN

10  Sea $f:X\to Y$ una aplicación. Sabemos que para cualquier par de subconjuntos $A_1$ y $A_2$ de $X$ se verifica $f\left(A_1\cap A_2\right)\subset f\left(A_1\right)\cap f\left(A_2\right).$ Demostrar que si $f$ es inyectiva entonces, se verifica la igualdad.

SOLUCIÓN
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