Imágenes directas e inversas de conjuntos

Proporcionamos ejercicos sobre imágenes directas e inversas de conjuntos asociados a una aplicación.

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Consideremos $X=\{1,2,3,4\},$ $Y=\{a,b,c\}$, la aplicación $f:X\to Y$ dada por $$f(1)=a,\;f(2)=a,\;f(3)=c,\;f(4)=c,$$ y los conjuntos $A=\{1,3\}$ y $B=\{a,b\}$. Determinar $f(A)$ y $f^{-1}(B).$
  2. Sea $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ dada por $f(x)=x^2$. Determinar
    $(i)\;f^{-1}\left(\{36\}\right).$
    $(ii)\;f^{-1}\left(\{-25\}\right).$
    $(iii)$ $f^{-1}\left(\{x:x\leq 0\}\right)$.
    $(iv)\;f^{-1}\left(\{x:25\leq x\leq 36\}\right).$
    $(v)\;f^{-1}\left(\{x:x\geq 0\}\right)$.
  3. Sea $f:X\to Y$ una aplicación. Demostrar que para cualquier par de subconjuntos $A_1$ y $A_2$ de $X$ se verifica:
    $(i)\;f\left(A_1\cup A_2\right)=f\left(A_1\right)\cup f\left(A_2\right).$
    $(ii)\;f\left(A_1\cap A_2\right)\subset f\left(A_1\right)\cap f\left(A_2\right).$ Dar un contraejemplo que demuestre que en general no se verifica la igualdad.
  4. Sea $f:X\to Y$ una aplicación. Demostrar que para cualquier par de subconjuntos $B_1$ y $B_2$ de $Y$ se verifica:
    $(i)\;f^{-1}\left(B_1\cup B_2\right)=f^{-1}\left(B_1\right)\cup f^{-1}\left(B_2\right).$
    $(ii)\;f^{-1}\left(B_1\cap B_2\right)= f^{-1}\left(B_1\right)\cap f^{-1}\left(B_2\right).$
  5. Sea $f:X\to Y$ una aplicación. Demostrar que si $\{A_i\}$ es cualquier colección de subconjuntos de $X$, se verifica:
    $(i)\;f\left(\bigcup A_i\right)=\bigcup f\left(A_i\right).$
    $(ii)\;f\left(\bigcap A_i\right)\subset\bigcap f\left(A_i\right).$
  6. Sea $f:X\to Y$ una aplicación. Demostrar que si $\{B_i\}$ es cualquier colección de subconjuntos de $Y$, se verifica:
    $(i)\; f^{-1}\left(\bigcup B_i\right)=\bigcup f^{-1}\left(B_i\right).$
    $(ii)\; f^{-1}\left(\bigcap B_i\right)=\bigcap f^{-1}\left(B_i\right).$
  7. Sea $f:X\to Y$ una aplicación. Demostrar que para cualquier par de subconjuntos $A_1$ y $A_2$ de $X$ se verifica:
    $(1)\;f\left(A_1- A_2\right)\supset f\left(A_1\right)- f\left(A_2\right).$
    $(2)\;A_1\subset A_2\Rightarrow f\left(A_1\right)\subset f\left(A_2\right).$
  8. Sea $f:X\to Y$ una aplicación. Demostrar que para cualquier par de subconjuntos $B_1$ y $B_2$ de $Y$ se verifica:
    $(1)\;f^{-1}\left(B_1- B_2\right)= f^{-1}\left(B_1\right)- f^{-1}\left(B_2\right).$
    $(2) \;B_1\subset B_2\Rightarrow f^{-1}\left(B_1\right)\subset f^{-1}\left(B_2\right).$
  9. Sea $f:X\to Y$ una aplicación. Sean $A\subset X$ y $B\subset Y$. Demostrar que:
    $(1)\; A\subset f^{-1}\left( f(A)\right).\quad (2)\;B\supset f\left(f^{-1}(B)\right).$
  10. Sea $f:X\to Y$ una aplicación. Sabemos que para cualquier par de subconjuntos $A_1$ y $A_2$ de $X$ se verifica $f\left(A_1\cap A_2\right)\subset f\left(A_1\right)\cap f\left(A_2\right).$ Demostrar que si $f$ es inyectiva entonces, se verifica la igualdad.
    Solución
  1. De acuerdo con las definiciones de imagen directa e inversa, $$f(A)=\{a,c\},\quad f^{-1}(B)=\{1,2\}.$$ Nota. No debe confundirse la aplicación $f^{-1}$ que existe solamente si $f:X\to Y$ es biyectiva, con $f^{-1}(B)$ que existe siempre, sea $f$ biyectiva o no.
  2. Aplicando la definición de imagen inversa:
    $(i)$ $f^{-1}\left(\{36\}\right)=\{x\in \mathbb{R}:f(x)=x^2=36\}=\{-6,6\}$.
    $(ii)$ $f^{-1}\left(\{-25\}\right)=\{x\in \mathbb{R}:f(x)=x^2=-25\}=\emptyset$.
    $(iii)$ $f^{-1}\left(\{x:x\leq 0\}\right)=\{x\in \mathbb{R}:f(x)=x^2\leq 0\}=\{0\}$.
    $(iv)$ $f^{-1}\left(\{x:25\leq x\leq 36\}\right)$
    $=\{x\in \mathbb{R}:f(x)=x^2\in [25,36]\}=[5,6]\cup [-6,-5]$.
    $(v)$ $f^{-1}\left(\{x:x\geq 0\}\right)=\{x\in\mathbb{R}:f(x)=x^2\geq 0\}=\mathbb{R}$.
  3. $(i)$ Demostremos el contenido de izquierda a derecha. Si $y\in f\left(A_1\cup A_2\right),$ entonces $y=f(x)$ para algún $x\in A_1\cup A_2.$ Si $x\in A_1$, entonces $y\in f\left(A_1\right),$ si $x\in A_2$, entonces $y\in f\left(A_2\right)$. En cualquier caso $y\in f\left(A_1\right)\cup f\left(A_2\right).$
    Veamos ahora el contenido de derecha a izquierda. Si $y\in f\left(A_1\right)\cup f\left(A_2\right)$, entonces $y\in f\left(A_1\right)$ o $y\in f\left(A_2\right).$ Si $y\in f\left(A_1\right)$, existe $x_1\in A_1$ tal que $y=f(x_1)$, si $y\in f\left(A_2\right)$, existe $x_2\in A_2$ tal que $y=f(x_2)$. En el primer caso $x_1\in A_1\cup A_2$ y en el segundo, $x_2\in A_1\cup A_2$. En cualquier caso, $y\in f\left(A_1\cup A_2\right).$
    $(ii)$ Si $y\in f\left(A_1\cap A_2\right),$ entonces existe $x\in A_1\cap A_2$, tal que $y=f(x).$ Como $x\in A_1$ y $x\in A_2$, se verifica $y\in f\left(A_1\right)$ e $y\in f\left(A_2\right).$ Es decir, $y\in f\left(A_1\right)\cap f\left(A_2\right).$
    Veamos que en general no se verifica la igualdad, para ello elijamos $X=\{a,b\},$ $Y=\{c\}$, $A_1=\{a\}$, $A_2=\{b\}$ y la aplicación $f:X\to Y$ dada por $f(a)=f(b)=c$. Entonces, $$f\left(A_1\cap A_2\right)=f(\emptyset)=\emptyset,\quad f\left(A_1\right)\cap f\left(A_2\right)=\{c\}\cap\{c\}=\{c\},$$ es decir $f\left(A_1\cap A_2\right)\neq f\left(A_1\right)\cap f\left(A_2\right).$
  4. $(i)$ Tenemos las equivalencias: $$x\in f^{-1}\left(B_1\cup B_2\right)\Leftrightarrow f(x)\in B_1\cup B_2\Leftrightarrow f(x)\in B_1\text{ o }f(x)\in B_2\\
    \Leftrightarrow x\in f^{-1}\left(B_1\right)\text{ o }x\in f^{-1}\left(B_2\right)\Leftrightarrow x\in f^{-1}\left(B_1\right)\cup f^{-1}\left(B_2\right).$$ Es decir, $f^{-1}\left(B_1\cup B_2\right)=f^{-1}\left(B_1\right)\cup f^{-1}\left(B_2\right).$
    $(ii)$ De manera análoga: $$x\in f^{-1}\left(B_1\cap B_2\right)\Leftrightarrow f(x)\in B_1\cap B_2\Leftrightarrow f(x)\in B_1\text{ y }f(x)\in B_2\\
    \Leftrightarrow x\in f^{-1}\left(B_1\right)\text{ y }x\in f^{-1}\left(B_2\right)\Leftrightarrow x\in f^{-1}\left(B_1\right)\cap f^{-1}\left(B_2\right).$$ Por tanto, $f^{-1}\left(B_1\cap B_2\right)=f^{-1}\left(B_1\right)\cap f^{-1}\left(B_2\right).$
  5. $(i)$ Demostremos el contenido de izquierda a derecha. Si $y\in f\left(\bigcup A_i\right),$ entonces $y=f(x)$ para algún $x\in \bigcup A_i.$ Por definición de unión, existe un índice $i_0$ tal que $x\in A_{i_0}$ lo cual implica que $y\in f\left(A_{i_0}\right)$ y de nuevo por definición de unión, $y\in \bigcup f\left(A_i\right).$
    Veamos ahora el contenido de derecha a izquierda. Si $y\in \bigcup f\left(A_i\right)$, entonces existe un índice $i_0$ tal que $y\in f\left(A_{i_0}\right)$ lo cual implica que existe $x\in A_{i_0}$ tal que $y=f(x).$ Pero $x\in \bigcup A_i$, luego $y\in f\left(\bigcup A_i\right).$
    $(ii)$ Si $y\in f\left(\bigcap A_i\right),$ entonces existe $x\in \bigcap A_i$, tal que $y=f(x).$ Como $x\in A_i$ para todo $i$, se verifica $y\in f\left(A_i\right)$ para todo $i$, es decir $y\in \bigcap f\left(A_i\right).$
  6. $(i)$ Tenemos las equivalencias: $$x\in f^{-1}\left(\bigcup B_i\right)\Leftrightarrow f(x)\in \bigcup B_i\Leftrightarrow \exists i_0:f(x)\in B_{i_0}\Leftrightarrow \exists i_0:x\in f^{-1}\left(B_{i_0}\right)$$ $$
    \Leftrightarrow \exists i_0:f(x)\in B_{i_0}\Leftrightarrow \exists i_0:x\in f^{-1}\left(B_{i_0}\right)\Leftrightarrow x\in \bigcup f^{-1}\left(B_i\right).$$ Es decir, $f^{-1}\left(\bigcup B_i\right)=\bigcup f^{-1}\left(B_i\right).$
    $(ii)$ De manera análoga: $$x\in f^{-1}\left(\bigcap B_i\right)\Leftrightarrow f(x)\in \bigcap B_i\Leftrightarrow f(x)\in B_{i}\;\;\forall i\Leftrightarrow x\in f^{-1}\left(B_{i}\right)\;\;\forall i$$ $$\Leftrightarrow f(x)\in B_{i}\;\;\forall i\Leftrightarrow x\in f^{-1}\left(B_{i}\right)\;\;\forall i\Leftrightarrow x\in \bigcap f^{-1}\left(B_i\right).$$ Es decir, $f^{-1}\left(\bigcap B_i\right)=\bigcap f^{-1}\left(B_i\right).$
  7. $(1)$ Sea $y\in f\left(A_1\right)- f\left(A_2\right).$ Esto implica que $y\in f\left(A_1\right)$ y que $y\notin f\left(A_2\right)$. Equivalentemente, existe $x_1\in A_1$ tal que $y=f(x_1)$ y para todo $x\in A_2,$ $y\neq f(x)$, lo cual implica además que $x_1\notin A_2.$ Es decir, $y=f(x_1)$ con $x_1\in A_1-A_2$ y por tanto $y\in f\left(A_1- A_2\right).$
    $(2)$ Sea $y\in f(A_1).$ Entonces, $y=f(x)$ con $x\in A_1$. Como $A_1\subset A_2,$ $x$ también pertenece a $A_2$ y por tanto, $y\in f\left(A_2\right).$
  8. $(1)$ Tenemos las equivalencias: $$x\in f^{-1}(B_1-B_2)\Leftrightarrow f(x)\in B_1-B_2\Leftrightarrow f(x)\in B_1 \text{ y }f(x)\notin B_2$$ $$\Leftrightarrow x\in f^{-1}(B_1)\text{ y }x\notin f^{-1} (B_2)\Leftrightarrow x\in f^{-1}(B_1)-f^{-1}(B_2).$$ Es decir, $f^{-1}\left(B_1- B_2\right)= f^{-1}\left(B_1\right)- f^{-1}\left(B_2\right).$
    $(2)$ Si $x\in f^{-1}(B_1)$, entonces $f(x)\in B_1.$ Pero $B_1\subset B_2$, lo cual implica que $f(x)\in B_2$ y por tanto $x\in f^{-1}(B_2).$
  9. $(1)$ Sea $x\in A.$ Entonces, $f(x)\in f(A)$ y por definición de imagen inversa, $x\in f^{-1}\left( f(A)\right).$
    $(2)$ Sea $y\in f\left(f^{-1}(B)\right).$ Esto implica que $y=f(x)$ para algún $x\in f^{-1}(B).$ Pero $x\in f^{-1}(B)$ equivale a $f(x)\in B.$ Por tanto $y=f(x)\in B.$
  10. Si $y\in f\left(A_1\right)\cap f\left(A_2\right)$, entonces $y\in f\left(A_1\right)$ e $y\in f\left(A_2\right),$ es decir existe $x_1\in A_1$ tal que $y=f(x_1)$ y existe $x_2\in A_2$ tal que $y=f(x_2).$ Pero $f$ es inyectiva, lo cual implica que $x_1=x_2.$ Por tanto $x_1\in A_1\cap A_2,$ en consecuencia $y\in f\left(A_1\cap A_2\right).$
    Es decir, $f\left(A_1\right)\cap f\left(A_2\right)\subset f\left(A_1\cap A_2\right),$ y por tanto $f\left(A_1\right)\cap f\left(A_2\right)= f\left(A_1\cap A_2\right).$
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