Concepto de continuidad, primeras propiedades

Proporcionamos ejercicios sobre el concepto de continuidad y sus primeras propiedades.

RESUMEN TEÓRICO
  • Definición. Sea $I$ un intervalo de la recta real y sea $x_0\in I$. Sea $f$ una función real definida en $I-\{x_0\}$ (no se descarta a priori que pudiera estar también definida en $x_0$). Se dice que $f$ es continua en $x_0$, si y sólo si se verifican las condiciones:
    $(i)$ Existe $f(x_0)$.
    $(ii)$ Existe $\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)$ y es finito.
    $(iii)$ $\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$.
    Se dice que $f$ es continua en $I$, si y sólo si es continua en todo punto de $I$.
  • Notas
    1. El que una función sea continua en un intervalo $I$, equivale intuitivamente a que se puede dibujar su gráfica sin levantar el lápiz del papel.
    2. Un punto $x=x_0$ se dice que es un punto de discontinuidad o discontinuidad de la función $f$, si y sólo si la función no es continua en dicho punto.
  • Definición. Sea $x_0$ una discontinuidad de $f$. Se dice que $x_0$ es discontinuidad evitable si y sólo si existe $\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)$ y es finito. En este caso se puede conseguir que la función sea continua en $x_0$ definiendo $f(x_0)=\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)$.
  • Teorema
    $(a)$ Si $f$ y $g$ definidas sobre $I$ son continuas en $x_0$, también lo son $f+g$ y $fg$. Si además, $g(x_0)\neq 0$ también lo es $\dfrac{f}{g}.$
    $(b)$ Sean $f:I\to\mathbb{R}$ y $g:J\to\mathbb{R}$ tales que $f(I)\subset J$ (esto a segura la existencia de la función composición $g\circ f:I\to\mathbb{R}$).
    Entonces, si $f$ es continua en $x_0$ y $g$ es continua en $f(x_0)$, también $g\circ f$ es continua en $x_0$.
    Enunciado
  1. Demostrar que cualquier función constante $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $ f(x)=k$ es continua en $\mathbb{R}$
  2. Demostrar que la función identidad $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=x$ es continua en $\mathbb{R}.$
  3. Demostrar que cualquier función polinómica es continua en $\mathbb{R}$.
  4. Demostrar que cualquier función racional es continua en todos los valores reales que no anulan al denominador.
    Solución
  1. Sea $x_0\in\mathbb{R}$. Veamos que $f$ es continua en $x_0$.
    $(i)$ Existe $f(x_0)=k.$
    $(ii)$ Sabemos por conocidos teoremas de límites que el límite de una función constante es la propia constante, es decir $\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=k$ (finito).
    $(iii)$ $\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$.
    Concluimos que $f$ es continua en $\mathbb{R}$.
  2. Sea $x_0\in\mathbb{R}$. Veamos que $f$ es continua en $x_0$.
    $(i)$ Existe $f(x_0)=x_0.$
    $(ii)$ Sabemos por conocidos teoremas de límites que $\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=x_0$ (finito).
    $(iii)$ $\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$.
    Concluimos que $f$ es continua en $\mathbb{R}.$
  3. Cualquier función polinómica es de la forma: $$f(x)=a_nx^n+\ldots+a_2x^2+a_1x+a_0\quad (a_i\in\mathbb{R}).$$ Las funciones constantes y la función identidad son continuas en $\mathbb{R}$. Como el producto de funciones continuas es continua, se deduce que $x\to a_kx^k$ es continua en $\mathbb{R}$. Al ser la suma de continuas una función continua, concluimos que cualquier función polinómica es continua en $\mathbb{R}$.
  4. Toda función racional $F$ es de la forma $F=\dfrac{f}{g}$ en donde $f$ y $g$ son funciones polinómicas, y éstas son continuas en $\mathbb{R}$. Por otra parte, sabemos que si $f$ y $g$ definidas sobre un intervalo $I$ son continuas en $x_0$, también lo es $\dfrac{f}{g}$ si $g(x_0)\neq 0$.
    Concluimos que $F$ es continua en todos los valores reales que no anulan al denominador.
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