Continuidad de las funciones elementales

Proporcionamos la manera de estudiar la continuidad de las funciones elementales.

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Determinar donde son continuas las siguientes funciones elementales: $$(a)\;\;f(x)=\dfrac{3x-2}{x^2-5x+6}.\qquad (b)\;\;g(x)=\sqrt{-2x^2+10x-12}.$$
  2. Determinar donde son continuas las siguientes funciones elementales: $$(a)\;f(x)=\sqrt[3]{\dfrac{1}{x^2+x+1}}.\quad (b)\;f(x)=\dfrac{1}{\cos x}.$$
  3. Estudiar la continuidad de la función elemental $$f(x)=\log (x^2-x-6).$$
  4. Demostrar que para todo $k\in [0,1)$ es continua en $\mathbb{R}$ la función $$f(x)=\frac{1}{kx^2-2kx+1}.$$
  5. Estudiar la continuidad de las funciones elementales $$(a)\;f(x)=\sqrt{x^3-3x^2-x+3}.\quad (b)\;g(x)=\sqrt{\frac{x-1}{x+2}}.$$
    Solución
  1. $(a)$ La función no está definida si y sólo si el denominador se anula, es decir cuando $x^2-5x+6=0.$ Resolviendo obtenemos $x=2,\;x=3$. Por tanto $f$ es continua exactamente en $\mathbb{R}-\{2,3\}.$
    $(b)$ La función está definida si y sólo si el radicando es no negativo es decir, si y sólo si $p(x)=-2x^2+10x-12\geq 0.$ Factoricemos $p(x)$ para estudiar su signo. Tenemos $$p(x)=-2(x^2-5x+6)=-2(x-2)(x-3).$$ El polinomio $p(x)$ toma valores no negativos exactamente en el intervalo $[2,3]$. Por tanto $g$ es continua exactamente en $[2,3].$
  2. $(a)$ La raíz cúbica de un número real siempre existe y el denominador no se anula para ningún valor real de $x$ (sus raíces son complejas), lo cual implica que $f$ es continua en $\mathbb{R}.$
    $(b)$ La función no será continua cuando $\cos x=0$ es decir cuando: $$x=\pi/2+2k\pi \text{ con } k\in\mathbb{Z}.$$ La función $f$ es continua exactamente en $\mathbb{R}-\{\pi/2+2k\pi:k\in\mathbb{Z}\}.$
  3. La función $f$ está definida para los valores de $x$ reales tales que $p(x)=x^2-x-6>0$.Factoricemos $p(x)$ para estudiar su signo. Tenemos: $$p(x)=(x-3)(x+2).$$ Este polinomio toma valores positivos exactamente en $$(-\infty,-2)\cup (3,+\infty),$$ que es donde $f$ es continua.
  4. La función $f$ es elemental. Para que sea continua en $\mathbb{R}$ es necesario y suficiente que esté definida en todo $ \mathbb{R} $, es decir que el polinomio $p(x)=kx^2-2kx+1$ no tenga raíces reales. Para $k=0$ queda $f(x)=1$ que es continua en $\mathbb{R}$. Para $k\neq 0$ las raíces de $p(x)$ son: $$x=\frac{2k\pm \sqrt{4k^2-4k}}{2k}=\frac{k\pm \sqrt{k^2-k}}{k}.$$ Si $k\in (0,1)$, entonces $k^2-k=k(k-1)<0$ y por tanto $p(x)$ no tiene raíces reales. Concluimos que si $k\in [0,1)$, $f$ es continua en $\mathbb{R}$
  5. $(a)$ La función está definida si y sólo si el radicando es no negativo es decir, si y sólo si $p(x)=x^3-3x^2-x+3\geq 0.$ Factorizando $p(x):$ $$p(x)=(x-1)(x+1)(x-3).$$ El polinomio $p(x)$ toma valores no negativos exactamente en $[-1,1]\cup [3,+\infty)$. Por tanto $f$ es continua exactamente en $[-1,1]\cup [3,+\infty)$.

    $(b)$ El radicando existe si y sólo si $x\neq -2.$ La función está definida si y sólo si el radicando es no negativo y claramente esto ocurre exactamente en $(-\infty-2)\cup [1,+\infty)$. Por tanto $g$ es continua exactamente en $(-\infty-2)\cup [1,+\infty).$

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