Continuidad en intervalos

Proporcionamos ejercicios sobre continuidad en intervalos.

TEORÍA

1 Demostrar que la ecuación $x^3+x^2-9x+2=0$ tiene al menos una raíz mayor que $0$ y menor que $1.$

SOLUCIÓN

2 Demostrar que la ecuación $x-\cos x=0$ tiene al menos una solución en el intervalo $(0,\pi)$.

SOLUCIÓN

3 Sean $a,b\in\mathbb{R}$ tales que $0<a<1$ y $b>0.$ Demostrar que la ecuación $x=a\text{ sen } x +b$ tiene al menos una raíz positiva menor o igual que $a+b$.

SOLUCIÓN

4 Demostrar que toda ecuación polinómica real de grado impar tiene al menos una raíz real.

SOLUCIÓN

5  Demostrar el teorema de Bolzano:
Sea $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ continua. Supongamos que $f(a)f(b)<0$ (es decir, $f(a)$ y $f(b)$ son no nulos y con distinto signo).
Entonces, existe al menos un $c\in(a,b)$ tal que $f(c)=0$

SOLUCIÓN

6 Demostrar que la función $f(x)=x^3+x^2-3x+2$ toma el valor $\pi$ en el intervalo $(1,2)$.

SOLUCIÓN

7  Usando el teorema de Bolzano, demostrar el teorema de los valores intermedios para funciones continuas:
Sea $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ uuna función continua. Sean $x_1,x_2$ dos puntos de $[a,b]$ tales que $x_1<x_2$ y $f(x_1)\neq f(x_2)$. Entonces, la función $f$ toma todos los valores comprendidos entre $f(x_1)$ y $f(x_2)$ al menos una vez en el intervalo $(x_1,x_2.)$

SOLUCIÓN

8 Se considera la función $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ dada por $f(x)=\left|x^3+\cos x\right|$. Demostrar que $f$ alcanza en $[0,1]$ un máximo y un mínimo absolutos.

SOLUCIÓN
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