Continuidad uniforme

Proporcionamos ejercicios sobre continuidad uniforme.

TEORÍA

1 Demostrar que  $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dada por $f(x)=2x+5$ es uniformemente continua.

SOLUCIÓN

2 Demostrar que la función  $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$,  $f(x)=\left|x\right|$ es uniformemente continua.

SOLUCIÓN

3 Demostrar que  $f:(0,4)\to\mathbb{R}$ dada por $f(x)=x^2$ es uniformemente continua.

SOLUCIÓN

4  Sea  $I\subset\mathbb{R}$ intervalo. Demostrar que si $f:I\to \mathbb{R}$ es uniformemente continua, entonces es continua.

SOLUCIÓN

5 Sea  $f:(0,+\infty)\to \mathbb{R}$ dada por $f(x)=x^2$. Demostrar que es continua pero no uniformemente continua.

SOLUCIÓN

6  Demostrar el teorema de caracterización de la continuidad uniforme por sucesiones:
Sea $I\subset \mathbb{R}$ intervalo  y $f:I\to \mathbb{R}$ una función. Entonces,  $f$ es uniformemente continua si y sólo si para cualquier par de sucesiones $(x_n)$ e $(y_n)$ de puntos de $I$ tales que $\left(x_n-y_n\right)\to 0$ se verifica $\left(f(x_n)-f(y_n)\right)\to 0$

7 Sea  $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dada por $f(x)=x^3$. Demostrar que no es uniformemente continua usando el teorema de caracterización de la convergencia uniforme por sucesiones.

SOLUCIÓN

8  Demostrar el teorema de Heine:
Sean $a,b\in \mathbb{R}$ con $a<b$ y  $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ una función continua. Entonces,  $f$ es uniformemente continua.

SOLUCIÓN

9 Usando el teorema de Heine, demostrar que la función $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ dada por  $f(x)=\sqrt{x}$ es uniformemente continua.

SOLUCIÓN

10 Demostrar que la función $f(x)=\operatorname{sen}x$ es uniformemente continua en $\mathbb{R}.$

SOLUCIÓN
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