Continuidad uniforme

Proporcionamos ejercicios sobre continuidad uniforme.

Enunciado
1. Demostrar que $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dada por $f(x)=2x+5$ es uniformemente continua.
2. Demostrar que la función $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\left|x\right|$ es uniformemente continua.
3. Demostrar que $f:(0,4)\to\mathbb{R}$ dada por $f(x)=x^2$ es uniformemente continua.
4. Sea $I\subset\mathbb{R}$ intervalo. Demostrar que si $f:I\to \mathbb{R}$ es uniformemente continua, entonces es continua.
5. Sea $f:(0,+\infty)\to \mathbb{R}$ dada por $f(x)=x^2$. Demostrar que es continua pero no uniformemente continua.
6. Demostrar el teorema de caracterización de la continuidad uniforme por sucesiones:
   Sea $I\subset \mathbb{R}$ intervalo y $f:I\to \mathbb{R}$ una función. Entonces, $f$ es uniformemente continua si y sólo si para cualquier par de sucesiones $(x_n)$ e $(y_n)$ de puntos de $I$ tales que $\left(x_n-y_n\right)\to 0$ se verifica $\left(f(x_n)-f(y_n)\right)\to 0$
7. Sea $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dada por $f(x)=x^3$. Demostrar que no es uniformemente continua usando el teorema de caracterización de la convergencia uniforme por sucesiones.
8. Demostrar el teorema de Heine:
   Sean $a,b\in \mathbb{R}$ con $a<b$ y $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ una función continua. Entonces, $f$ es uniformemente continua.
9. Usando el teorema de Heine, demostrar que la función $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ dada por $f(x)=\sqrt{x}$ es uniformemente continua.
10. Demostrar que la función $f(x)=\operatorname{sen}x$ es uniformemente continua en $\mathbb{R}.$

Solución
1. Sea $\epsilon >0$ y elijamos $\delta =\epsilon /2$. Entonces, si $\left|x-y\right|<\delta:$ $$\left|f(x)-f(y)\right|=\left|2x+5-(2y+5)\right|=2\left|x-y\right|<2(\epsilon/2)=\epsilon.$$
2. Sea $\epsilon > 0$ y elijamos $\delta =\epsilon$. Usando la conocida propiedad $\left|\left|a\right|-\left|b\right|\right|\leq \left |a-b\right|:$ $$\left|x-y\right|<\delta,\;x,y\in\mathbb{R}\Rightarrow \left|\left|x\right|-\left|y\right|\right|\leq \left|x-y\right|<\delta\Rightarrow \left|f(x)-f(y)\right|<\epsilon.$$
3. Sea $\epsilon >0$ y elijamos $\delta=\epsilon/8$. Sean $x,y\in (0,4)$, entonces $0<x+y<8$. Si $\left|x-y\right|<\delta:$ $$\left|f(x)-f(y)\right|=\left|x^2-y^2\right|=\left|x+y\right|\left|x-y\right|<8(\epsilon/8)=\epsilon.$$
4. Sea $\epsilon >0$ y $x_0\in I$ fijo. Como $f$ es uniformemente continua en $I$, existe $\delta>0$ tal que si $x\in I$ y $\left|x-x_0\right|<\delta$ se verifica $\left|f(x)-f(x_0)\right|<\epsilon$ . Esto implica que $f$ es continua en $x_0$ para todo $x_0\in I$, es decir $f$ es continua en $I$.
5. La función $f(x)=x^2$ es polinómica, por tanto continua en $\mathbb{R}$ y como consecuencia, en $(0,+\infty)$. Veamos que no es uniformemente continua. Tenemos que demostrar que $$\exists \epsilon>0:\forall \delta>0\;\exists x, y\in (0,+\infty)\text{ tal que }\left(\left|x-y\right|<\delta \text{ y }\left|x^2-y^2\right|\geq \epsilon\right).$$ Sea $\epsilon=1$. Elijamos $\delta>0$. Sean $y=1/\delta$, $x=y+\delta/2$. Entonces $|x-y|=\delta/2<\delta$ sin embargo $$\left|x^2-y^2\right|=\left|\left(\frac{1}{\delta}+\frac{\delta}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{\delta}\right)^2\right|=1+\frac{\delta^2}{4}>1=\epsilon.$$
6. Ver Caracterización de la continuidad uniforme por sucesiones.
7. Elijamos las sucesiones $x_n=n+1/n$ e $y_n=n$. Se verifica $(x_n-y_n)=(1/n)\to 0$. Sin embargo $$\left|f(x_n)-f(y_n)\right|=\left|\left(n+\frac{1}{n}\right)^3-n^3\right|=3n+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^3}\geq 3 \quad(\forall n\geq 1).$$ La sucesión $f(x_n)-f(y_n)$ no tiene límite $0$, por tanto $f$ no es uniformemente continua.
8. Ver Teorema de Heine.
9. La función $ f(x)=\sqrt{x} $ es elemental y estás definida en $ [0,1] $, luego es continua en $ [0,1] $. Por el teorema de Heine, también es uniformemente continua.
10. Sea $\epsilon>0.$ Para todo $x,y\in\mathbb{R},$ $$\left|f(x)-f(y)\right|=\left|\operatorname{sen}x -\operatorname{sen}x\right|=\left|2\cos\frac{x+y}2\operatorname{sen}\frac{x-y}2\right|$$ $$\leq 2\left|\operatorname{sen}\frac{x-y}2\right|\leq 2\left|\frac{x-y}2\right|=\left|x-y\right|. $$ Entonces, eligiendo $\delta=\epsilon$ $$\left|x-y\right|<\delta\Rightarrow \left|f(x)-f(y)\right|\leq \left|x-y\right|<\delta=\epsilon.$$