Propiedades de la unión e intersección

Proporcionamos un problema sobre las propiedades de la unión e intersección de conjuntos, y un anexo teórico.

Enunciado
Demostrar las siguientes propiedades para conjuntos cualesquiera dados:
1. Asociativa de la unión: $ (A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C). $
2. Asociativa de la intersección: $ (A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C). $
3. Conmutativa de la unión: $A\cup B=B\cup A.$
4. Conmutativa de la intersección: $A\cap B=B\cap A.$
5. Idempotentes de la unión y de la intersección: $A\cup A=A,\;A\cap A=A.$
6. Elemento ínfimo para la unión e intersección: $A\cup \emptyset =A,\;A\cap \emptyset =\emptyset.$
7. Distributiva de la intersección respecto de la unión: $ A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C). $
8. Distributiva de la unión respecto de la intersección: $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C).$
9. Leyes de simplificación: $(a)\;(A\cup B)\cap A=A.$ $(b)\;(A\cap B)\cup A=A.$

Solución
1. Quedará demostrada la igualdad si demostramos los contenidos: $$(A\cup B)\cup C\subset A\cup (B\cup C).\quad (1)$$ $$A\cup (B\cup C)\subset (A\cup B)\cup C.\quad (2)$$ Sea $x\in (A\cup B)\cup C$. Esto significa $x\in A\cup B$ o $x\in C$. Si ocurre lo primero, será $x\in A$ o $x\in B$. Si $x\in A$, será $x\in A\cup (B\cup C)$; si $x\in B$ será $x\in B\cup C$ y por tanto $x\in A\cup (B\cup C)$. Por último, si $x\in C$, será $x\in B\cup C$ y por tanto $x\in A\cup (B\cup C)$. Hemos demostrado $(1)$.

Sea $x\in A\cup (B\cup C)$. Esto significa $x\in A$ o $x\in B\cup C$. Si ocurre lo primero, será $x\in A\cup B$ y por tanto $x\in (A\cup B)\cup C$. Si $x\in B\cup C$, será $x\in B$ o $x\in C$. Si $x\in B$, será $x\in A\cup B$ y por tanto $x\in (A\cup B)\cup C$; si $x\in C$ será $x\in (A\cup B)\cup C$. Hemos demostrado $(2).$

2. Sea $x\in (A\cap B)\cap C$. Esto significa $x\in A\cap B$ y $x\in C$ y por tanto, $x\in A$ y $x\in B$ y $x\in C$ lo cual implica que $x\in A$ y $x\in B\cap C$, es decir $x\in A\cap (B\cap C)$.

Sea $x\in A\cap (B\cap C)$. Esto significa $x\in A$ y $x\in B\cap C$ y por tanto, $x\in A$ y $x\in B$ y $x\in C$ lo cual implica que $x\in A\cap B$ y $x\in C$, es decir $x\in (A\cap B)\cap C$.
Del doble contenido demostrado, concluimos que $$ (A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C). $$ 3. Sean $A$ y $B$ conjuntos arbitrarios. Sea $x\in A\cup B$. Esto significa que $x\in A$ o $x\in B$ y, en cualquiera de los dos casos, $x\in B\cup A$. Hemos demostrado $A\cup B\subset B\cup A$.

Sea $x\in B\cup A$. Esto significa que $x\in B$ o $x\in A$ y, en cualquiera de los dos casos, $x\in A\cup B$. Hemos demostrado $B\cup A\subset A\cup B$.
Podemos pues concluir que $A\cup B=B\cup A$.

4. Sean $A$ y $B$ conjuntos arbitrarios. Sea $x\in A\cap B$. Esto significa que $x\in A$ y $x\in B$ lo cual implica que que $x\in B$ y $x\in A$, es decir $x\in B\cap A$. Hemos demostrado $A\cap B\subset B\cap A$.

Sea $x\in B\cap A$. Esto significa que $x\in B$ y $x\in A$ lo cual implica que que $x\in A$ y $x\in B$, es decir $x\in A\cap B$. Hemos demostrado $B\cap A\subset A\cap B$.
Podemos pues concluir que $A\cap B=B\cap A$.

5. Sea $A$ conjunto arbitrario. Si $x\in A\cup A$, será $x\in A$ o $x\in A$, y en ambos casos $x\in A$. Si $x\in A$, en virtud de la definición de unión, $x\in A\cup A$. Podemos pues concluir que $A\cup A=A$.

Si $x\in A\cap A$, será $x\in A$ y $x\in A$, y por tanto, $x\in A$. Si $x\in A$, en virtud de la definición de intersección, $x\in A\cap A$. Podemos pues concluir que $A\cap A=A$.

6. Si $x\in A\cup \emptyset$ entonces $x\in A$ o $x\in \emptyset$. Dado que el conjunto vacío no tiene elementos, necesariamente $x\in A$. Si $x\in A$, por la definición de unión, se cumple $x\in A\cup \emptyset$. Es decir, $A\cup \emptyset=A$.

Un elemento $x$ pertenece a $A\cap \emptyset$, si y sólo si $x\in A$ y $x\in \emptyset$. Ningún elemento $x$ cumple las dos condiciones anteriores, por tanto $A\cap \emptyset =\emptyset.$

7. Veamos que $ A\cap (B\cup C)\subset(A\cap B)\cup (A\cap C) $. En efecto, $x\in A\cap (B\cup C)$ implica $x\in A$ y $x\in B\cup C$, es decir o bien $x\in A$ y $x\in B$ o bien $x\in A$ y $x\in C$. En el primer caso $x\in A\cap B$ y en el segundo $x\in A\cap C$. En ambos casos, $x\in (A\cap B)\cup (A\cap C)$.

Veamos que $ (A\cap B)\cup (A\cap C)\subset A\cap (B\cup C) $. En efecto, $x\in (A\cap B)\cup (A\cap C)$ implica $x\in A\cap B$ o $x\in A\cap C$. En el primer caso, $x\in A$ y $x\in B$, por tanto $x\in A$ y $x\in B\cup C$ lo cual implica $x\in A\cap (B\cup C)$. En el segundo caso, $x\in A$ y $x\in C$, por tanto $x\in A$ y $x\in B\cup C$ lo cual implica también $x\in A\cap (B\cup C)$.

8. Veamos que $A\cup (B\cap C)\subset(A\cup B)\cap (A\cup C)$. En efecto, $x\in A\cup (B\cap C)$ implica $x\in A$ o $x\in B\cap C$. En el primer caso, $x\in A\cup B$ y $x\in A\cup C$ lo cual implica $x\in (A\cup B)\cap (A\cup C)$. En el segundo caso, $x\in B$ y $x\in C$. Es decir, $x\in A\cup B$ y $x\in A\cup C$, lo cual implica $x\in (A\cup B)\cap (A\cup C)$.

Veamos que $(A\cup B)\cap (A\cup C)\subset A\cup (B\cap C)$. En efecto, $x\in (A\cup B)\cap (A\cup C)$ implica $x\in A\cup B$ y $x\in A\cup C$. Si $x\in A$, entonces $x\in A\cup (B\cap C)$. Si $x\not\in A$, al pertenecer a $A\cup B$ y a $A\cup C$, necesariamente $x\in B$ y $x\in C$. Es decir, $x\in B\cap C$ y por tanto, $x\in A\cup (B\cap C)$.

9. $(a)$ Si $x\in (A\cup B)\cap A$, entonces $x\in A\cup B$ y $x\in A$ lo cual implica trivialmente que $x\in A$. Si $x\in A$, entonces $x\in A\cup B$ y $x\in A$ lo cual implica $x\in (A\cup B)\cap A$.

$(b)$ Si $x\in (A\cap B)\cup A$, entonces $x\in A\cap B$ o $x\in A$, y en ambos casos, $x\in A$. Si $x\in A$, entonces $x\in (A\cap B)\cup A$.

ANEXO TEÓRICO
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