Continuidad en una variable: problemas diversos

1 Se considera la función definida por $$f(x)= \left \{ \begin{matrix}
\displaystyle 2\cos x & \mbox{ si }& x\leq c\\(ax+b)^2 & \mbox{si}& x>c.\end{matrix}\right.$$ Si $b,c\in\mathbb{R}$ son parámetros fijos, hallar los valores de $a$ para los cuales $f$ es continua en $c$.

SOLUCIÓN

2 Sea $f:(a,b)\to \mathbb{R}$ continua en $x_0\in (a,b)$ y supongamos que $f(x_0)\neq 0$. Demostrar que existe un intervalo abierto $(x_0-\delta,x_0+\delta)$ tal que en cada punto de éste intervalo $f(x)$ y $f(x_0)$ tienen el mismo signo.

SOLUCIÓN

3 Demostrar que la ecuación $e^{-x}+2=x$ tiene al menos una solución real.

SOLUCIÓN
4 Sean $f$ y $g$ dos funciones continuas en $[a,b]$ que cumplen $f(a)>g(a)$ y $f(b)<g(b)$. Demostrar que las gráficas de $f$ y $g$ se cortan.

SOLUCIÓN

5 Si $ \alpha<\beta ,$ probar que la ecuación $ \dfrac{x^2+1}{x-\alpha}+\dfrac{x^6+1}{x-\beta}=0 $ tiene al menos una solución en el intervalo $ (\alpha,\beta) $.

SOLUCIÓN

6 Demostrar que la función $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ dada por $f(x)=\dfrac{1}{x}$ no es uniformemente continua.

SOLUCIÓN

7 Sea $I\subset \mathbb{R}$ intervalo y $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una función. Supongamos que existe un $M>0$ tal que $$|f(x)-f(y)|\leq M|x-y|\quad \forall x,y\in S. \qquad (*)$$ Demostrar que $f$ es uniformemente continua en $I$.
Nota: A la condición $(*)$ se la llama condición de Lipschitz y a la correspondiente función, función Lipschitziana.

SOLUCIÓN

8 Sean $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ dos funciones uniformemente continuas. Demostrar que $h=g\circ f$ es uniformemente continua.

SOLUCIÓN
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