Función característica

Proporcionamos un ejercicio sobre las propiedades de la función característica.

Enunciado
Sea $X$ un conjunto y $M\subset X.$ La función característica de $M$ se define como la función $\mathbf{1}_M : X \to \{ 0,1 \}$ $$\mathbf{1}_M(x) =
\begin{cases}
1 &\text{si } x \in M\\
0 &\text{si } x \notin M.
\end{cases}$$ Demostrar que para todo $A,B$ subconjuntos de $X$ se verifica:
$(i)\;\mathbf{1}_{A} =\mathbf{1}_{B}\Leftrightarrow A=B$
$(ii)\;\mathbf{1}_{A^c} = 1-\mathbf{1}_A.$
$(iii)\;\mathbf{1}_{A\cap B} = \mathbf{1}_A \cdot\mathbf{1}_B.$
$(iv)\;\mathbf{1}_{A\cup B} = \mathbf{1}_A + \mathbf{1}_B – \mathbf{1}_A \cdot\mathbf{1}_B.$
$(v)\;\mathbf{1}_{A\Delta B} = \mathbf{1}_A + \mathbf{1}_B – 2 \cdot \mathbf{1}_A \cdot\mathbf{1}_B.$

Solución
$(i)$ $\Rightarrow)$ Si $x\in A$, entonces $\mathbf{1}_A(x)=1$. Por hipótesis, $\mathbf{1}_{A} =\mathbf{1}_{B}$, luego $\mathbf{1}_B(x)=1$ lo cual implica que $x\in B$. Hemos demostrado que $A\subset B$. Razonamiento análogo para $B\subset A$.
$\Leftarrow)$ Por hipótesis $A=B$. Si $x\in A=B$, entonces $\mathbf{1}_A(x)=\mathbf{1}_B(x)=1$. Si $x\not\in A=B$, entonces $\mathbf{1}_A(x)=\mathbf{1}_B(x)=0$. Como $\mathbf{1}_A(x)=\mathbf{1}_B(x)$ para todo $x\in X$, concluimos que $\mathbf{1}_A=\mathbf{1}_B$.

$(ii)$ Tenemos: $$x\in A\Rightarrow x\not\in A^c\Rightarrow \mathbf{1}_A(x)=1\text{ y }\mathbf{1}_{A^c}(x)=0\Rightarrow \mathbf{1}_{A^c}(x) = 1-\mathbf{1}_A(x)\\
x\not\in A\Rightarrow x\in A^c\Rightarrow \mathbf{1}_A(x)=0\text{ y }\mathbf{1}_{A^c}(x)=1\Rightarrow \mathbf{1}_{A^c}(x) = 1-\mathbf{1}_A(x).$$ Como $\mathbf{1}_{A^c}(x) = 1-\mathbf{1}_A(x)$ para todo $x\in X$, concluimos que $\mathbf{1}_{A^c} = 1-\mathbf{1}_A$.

$(iii)$ Se verifica: $$x\in A\cap B\Rightarrow x\in A\text{ y } x\in B\Rightarrow \mathbf{1}_{A\cap B}(x)=1\text{ y }\mathbf{1}_{A}(x)=1\text{ y }\mathbf{1}_{B}(x)=1.$$ Es decir, si $x\in A\cap B$ entonces, $\mathbf{1}_{A\cap B}(x)=\mathbf{1}_{A}(x)\mathbf{1}_{ B}(x)$. Por otra parte, $$x\notin A\cap B\Rightarrow x\notin A\text{ o } x\notin B\Rightarrow \mathbf{1}_{A\cap B}(x)=0\text{ y }\left(\mathbf{1}_{A}(x)=0\text{ o }\mathbf{1}_{B}(x)=0\right).$$ Por tanto, si $x\notin A\cap B$, también $\mathbf{1}_{A\cap B}(x)=\mathbf{1}_{A}(x)\mathbf{1}_{ B}(x)$. Concluimos que $\mathbf{1}_{A\cap B}=\mathbf{1}_{A}\cdot\mathbf{1}_{ B}$.

$(iv)$ Si $x\in A\cup B$, entonces $\mathbf{1}_{A\cup B}(x)=1$. Según los distintos casos tenemos: $$x\in A\cap B\Rightarrow \mathbf{1}_A(x) + \mathbf{1}_B(x) – \mathbf{1}_A(x) \cdot\mathbf{1}_B(x)=1+1-1\cdot 1=1\\
x\in A\text{ y }x\notin B\Rightarrow \mathbf{1}_A(x) + \mathbf{1}_B(x) – \mathbf{1}_A(x) \cdot\mathbf{1}_B(x)=1+0-1\cdot 0=1\\
x\notin A\text{ y }x\in B\Rightarrow \mathbf{1}_A(x) + \mathbf{1}_B(x) – \mathbf{1}_A(x) \cdot\mathbf{1}_B(x)=0+1-0\cdot 1=1.$$ Si $x\notin A\cup B$, entonces $\mathbf{1}_{A\cup B}(x)=0$. Dado que $x\notin A$ y $x\notin B:$ $$\mathbf{1}_A(x) + \mathbf{1}_B(x) – \mathbf{1}_A(x) \cdot\mathbf{1}_B(x)=0+0-0\cdot 0=0.$$ Por tanto, $\forall x\in X$ se verifica $\mathbf{1}_{A\cup B}(x)=\mathbf{1}_A(x) + \mathbf{1}_B(x) – \mathbf{1}_A(x) \cdot\mathbf{1}_B(x)$ lo cual implica que $\mathbf{1}_{A\cup B} = \mathbf{1}_A + \mathbf{1}_B – \mathbf{1}_A \cdot\mathbf{1}_B$.

$(v)$ Para todo $x\in X$ se verifica $\mathbf{1}_{\emptyset}(x)=0 $ pues $x\notin \emptyset$. Es decir, $\mathbf{1}_{\emptyset}=\mathbf{0}$ (función nula). Por los apartados $(iii)$ y $(iv)$, $\mathbf{1}_{A\cup B}=\mathbf{1}_A + \mathbf{1}_B – \mathbf{1}_{A\cap B}$ y si $A\cap B=\emptyset$ queda $\mathbf{1}_{A\cup B}=\mathbf{1}_A + \mathbf{1}_B$. La diferencia simétrica $A\Delta B$ es igual a $(A-B)\cup (B-A)$ siendo ésta unión disjunta, por tanto $$\mathbf{1}_{A\Delta B}=\mathbf{1}_{A- B}+\mathbf{1}_{A- B}=\mathbf{1}_{A\cap B^c}+\mathbf{1}_{B\cap A^c}=\mathbf{1}_{A}\cdot \mathbf{1}_{B^c}+\mathbf{1}_{B}\cdot \mathbf{1}_{A^c}\\
=\mathbf{1}_{A}\cdot(1- \mathbf{1}_{B})+\mathbf{1}_{B}\cdot (1-\mathbf{1}_{A}) = \mathbf{1}_A + \mathbf{1}_B – 2\cdot\mathbf{1}_A \cdot\mathbf{1}_B.$$

Esta entrada fue publicada en Miscelánea matemática. Guarda el enlace permanente.