Funciones f-continuas

Definimos las funciones f-continuas y analizamos algunas de sus propiedades.

Enunciado
Sea $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una función arbitraria. Diremos que una función $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ es $f$-continua si $g\circ f$ es continua para todo $x\in\mathbb{R}.$
1) Sea $f(x)=x^2.$ Estudiar si las funciones $g_1,g_2:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definidas por $$g_1(x)=\left \{ \begin{matrix} 0 & \mbox{ si }& x\leq 0\\1 & \mbox{si}& x>0,\end{matrix}\right.\quad g_2(x)=\left \{ \begin{matrix} 0 & \mbox{ si }& x<0 \\1 & \mbox{si}& x\geq 0,\end{matrix}\right.$$ son $f$-continuas.
2) Determinar todas las funciones que son $f$-continuas si: a) $f$ es constante. b) $f(x)=x$ para todo $x\in\mathbb{R}.$
3) Consideremos $f(x)=e^x.$ Estudiar razonadamente la veracidad o falsedad de la siguiente afirmación: $g$ es $f$-continua si, y sólo si $g$ es continua en $(0,\infty).$
4) Consideremos ahora $f(x)=\mbox{sen }x.$ Caracterizar las funciones $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ que son $f$-continuas.

(Propuesto en examen, Cálculo, ETS Ing. de Montes, UPM).

Solución
1) Determinemos la función $g_1\circ f$ y $g_2\circ f:$ $$(g_1\circ f)(x)=g_1[f(x)]=g_1(x^2)=\left \{ \begin{matrix} 0 & \mbox{ si }& x=0 \\1 & \mbox{si}& x\neq 0.\end{matrix}\right.$$ Claramente $g_1\circ f$ no es continua en $x=0,$ por tanto $g_1$ no es $f$-continua. $$(g_2\circ f)(x)=g_2[f(x)]=g_2(x^2)=1.$$ La función $g_2\circ f$ es continua para todo $x\in\mathbb{R},$ es decir $g_2$ es $f$-continua.2) a) Sea $f(x)=k$ con $k$ constante. Entonces, para toda función $g$ se verifica $(g\circ f)(x)=g[f(x)]=g(k),$ es decir $g\circ f$ es constante y por tanto continua. En consecuencia todas las funciones $g$ son $f$-continuas. b) Si $f(x)=x$ para todo $x\in\mathbb{R}:$ $$g\mbox{ es }f\mbox{-continua}\Leftrightarrow (g\circ f)(x)=g[f(x)]=g(x)\mbox{ es continua}.$$ Es decir, las funciones $f$-continuas son en éste caso las continuas.3) Veamos si se verifica la doble implicación: $g$ es $f$-continua $\Leftrightarrow g$ es continua en $(0,\infty).$
$\Rightarrow)$ El rango de la función $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\;f(x)=e^x$ es $(0,\infty).$ Por hipótesis $g\circ f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ es continua y como consecuencia es continua $g\circ f$ considerando la restricción $\mathbb{R}\stackrel{f}{\rightarrow}( 0, \infty ) \stackrel{g}{\rightarrow} \mathbb{R},$ y llamemos $h=g\circ f$ a esta composición. La inversa de la función $f:\mathbb{R}\to (0,\infty)$ es $f^{-1}:(0,\infty)\to\mathbb{R},\;f^{-1}(x)=\log x.$ Entonces $$g\circ f=h \Rightarrow g\circ f \circ f^{-1}=h\circ f^{-1}\Rightarrow g\circ I=h\circ f^{-1} \Rightarrow g =h\circ f^{-1}.$$ Se deduce que $g$ es continua en $(0,\infty)$ al ser composición de continuas.
$\Leftarrow )$ Por hipótesis $g$ es continua en $(0,\infty).$ Razonando como en la implicación anterior tenemos $\mathbb{R}\stackrel{f}{\rightarrow}( 0, \infty ) \stackrel{g}{\rightarrow} \mathbb{R},$ y la función $g\circ f$ es continua por ser la composición de continuas, es decir $g$ es $f$-continua. Hemos demostrado la doble implicación, y por tanto la afirmación dada es verdadera.

4) Veamos que: $g$ es $f$-continua $\Leftrightarrow g$ es continua en $[-1,1].$ Razonaremos de manera análoga a la del apartado anterior.
$\Rightarrow )$ Consideramos la restricción $[-\pi/2,\pi/2]\stackrel{f}{\rightarrow}[ -1,1] \stackrel{g}{\rightarrow} \mathbb{R}.$ Entonces $$f^{-1}:[-1,1]\to [-\pi/2,\pi/2]\;,\quad f^{-1}(x)=\mbox{arcsen }x.$$ Llamemos $h=g\circ f$ ($h$ es continua por hipótesis). Se verifica: $$g\circ f=h \Rightarrow g\circ f \circ f^{-1}=h\circ f^{-1}\Rightarrow g\circ I=h\circ f^{-1} \Rightarrow g =h\circ f^{-1}.$$ Se deduce que $g$ es continua en $[-1,1]$ al ser composición de continuas.
$\Leftarrow )$ Por hipótesis $g$ es continua en $[-1,1].$ Razonando como en la implicación anterior tenemos $\mathbb{R}\stackrel{f}{\rightarrow}[ -1,1] \stackrel{g}{\rightarrow} \mathbb{R},$ y la función $g\circ f$ es continua por ser la composición de continuas, es decir $g$ es $f$-continua. Hemos demostrado pues la doble implicación.

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