Concepto de grupo

Proporcionamos ejercicios sobre el concepto de grupo.

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Demostrar de manera esquemática que $(\mathbb{Z},+)$, $(\mathbb{Q},+)$, $(\mathbb{R},+)$ y $(\mathbb{C},+)$ son grupos abelianos en donde $+$ representa en cada caso la suma habitual.
  2. Demostrar de manera esquemática que el conjunto de las matrices reales de ordenes $m\times n$ (denotado por $M_{m\times n}(\mathbb{R})$ o bien por $\mathbb{R}^{m\times n})$ es grupo abeliano, siendo $+$ la suma habitual de matrices.
  3. En el conjunto de los números reales se define las operación $x*y=x+y+4.$ Demostrar que $(\mathbb{R},*)$ es grupo abeliano.
  4. Demostrar que el conjunto $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ de los números reales no nulos con la operación $\cdot$ producto habitual es un grupo abeliano.
  5. Sea $G$ el conjunto de las matrices cuadradas reales de orden $n$ invertibles. Demostrar de manera esquemática que $(G,\cdot)$ es grupo, siendo $\cdot$ la operación usual producto de matrices. ¿Es abeliano?
  6. Sea $\mathbb{R}[x]$ el conjunto de los polinomios en la indeterminada $x$ y coeficientes reales. Demostrar de manera esquemática que $(\mathbb{R}[x],+)$ es grupo abeliano, en donde $+$ representa la suma habitual de polinomios.
  7. En el conjunto de los números reales $\mathbb{R}$ se define la operación $*$ mediante $x*y=\sqrt[ 3]{x^3+y^3}.$ Demostrar que $(\mathbb{R},*)$ es un grupo abeliano.
  8. En $G=\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ se define la ley de composición interna $*$ mediante $$(x_1,y_1)*(x_2,y_2)=(x_1+(-1)^{y_1}x_2,y_1+y_2).$$ Probar que ley $*$ confiere a $G$ estructura de grupo no abeliano.
  9. 1) Demostrar que sobre $\mathbb{R}$ la ley interna definida por $x*y=x+y-xy,$ es conmutativa, asociativa y que admite elemento neutro. ¿Es $(\mathbb{R},*)$ un grupo?
    2) Calcular $\underbrace{x*x*\ldots*x}_{n}.$
  10. Estudiar si $(\mathbb{Q}\setminus \{0\}, *)$ es grupo siendo $a * b = \dfrac{ab}{7}$.
    Solución
  1. $\mathbb{Z}$ con la operación $+$ usual es un grupo.Efectivamente, la suma de enteros es un entero. La suma de enteros es asociativa. Para todo entero $x$ se verifica $x+0=$ $0+x=x$, por tanto $e=0\in\mathbb{Z}$ es elemento neutro. Para todo $x$ entero, $-x$ se satisface $x+(-x)=(-x)+x=0$, es decir todo entero tiene simétrico $x’=-x\in\mathbb{Z}$. Además, sabemos que la suma de enteros es conmutativa y por tanto $(\mathbb{Z},+)$ es grupo abeliano.
    Razonando de manera análoga, deducimos que $(\mathbb{Q},+)$, $(\mathbb{R},+)$ y $(\mathbb{C},+)$ son grupos abelianos.
  2. La suma de dos matrices de órdenes $m\times n$ es otra matriz de orden $m\times n$. La suma de matrices es asociativa. Para toda matriz $A $ de orden $m\times n$ se verifica $A+0$ $=$ $0+A=A$, siendo $0$ la matriz nula de $m\times n,$ por tanto $0$ es elemento neutro. Para toda matriz $A $ de orden $m\times n,$ la matriz $-A$ de orden $m\times n$ verifica $A+(-A)=(-A)+A=0,$ es decir todo elemento $A$ de $M_{m\times n}(\mathbb{R})$ tiene simétrico, siendo este, $-A$. Además, sabemos que la suma de matrices es conmutativa y por tanto $(M_{m\times n}(\mathbb{R}),+)$ es grupo abeliano.
  3. La operación $*$ es claramente interna. Para $x,y,z$ números reales cualesquiera se verifica $$(x*y)*z=(x+y+4)*z=x+y+4+z+4=x+y+z+8.$$ $$x*(y*z)=x*(y+z+4)=x+y+z+4+4=x+y+z+8.$$ Es decir, la operación es asociativa.
    Para $x,y$ números reales cualesquiera se verifica $$x*y=x+y+4=y+x+4=y*x,$$ por tanto la operación es conmutativa. En consecuencia, el número real $e$ es neutro para la operación $*$ si y sólo si $e*x=x$ para todo $x\in\mathbb{R}$.
    Esto equivale a $e+x+4=x$, es decir $e=-4$ es elemento neutro para la operación $*$.
    Debido a la conmutatividad, un $x\in \mathbb{R}$ tiene elemento simétrico $x’\in\mathbb{R}$ si y sólo si $x*x’=e$ o bien si $x+x’+4=-4$. Existe por tanto $x’$ para cada $x$ siendo éste $x’=-8-x$.
  4. El producto de números reales no nulos es no nulo. El producto de reales tiene la propiedad asociativa. Se verifica $1\cdot x=x\cdot 1=x$ para todo $x\in \mathbb{R}\setminus\{0\}$ y por tanto $e=1$ es elemento neutro. Si $x$ es real no nulo, entonces $1/x$ es real no nulo y se verifica $x\cdot (1/x)=(1/x)\cdot x=1$, por tanto $x’=1/x$ es elemento simétrico de $x$. Además el producto de reales es conmutativo.
  5. Interna. Si $A$ y $B$ pertenecen a $G$ entonces $A$ y $B$ son invertibles es decir, $\det A\neq 0$ y $\det B\neq 0$. Dado que $\det(AB)=(\det A)(\det B)\neq 0$ concluimos que $AB$ es invertible y por tanto, pertenece a $G$.
    Asociativa. Es una conocida propiedad del producto de matrices.
    Elemento neutro. La matriz identidad $I$ real de orden $n$ es invertible ($\det I=1\neq 0$) y cumple $AI=IA=A$ para toda $A\in G$, por tanto existe elemento neutro.
    Elemento simétrico. Dada $A\in G$ se verifica $\det A^{-1}=(\det A)^{-1}\neq 0$, es decir $A^{-1}\in G$ y $A^{-1}A=A^{-1}A=I$, por tanto todo $A\in G$ tiene elemento simétrico.Es decir, $(G,\cdot)$ es grupo.
    No es abeliano porque en general no se verifica la propiedad conmutativa del producto de matrices, incluso para matrices invertibles. Basta tomar como contraejemplo: $$A=\begin{bmatrix}{1}&{1}\\{0}&{1}\end{bmatrix},\;B=\begin{bmatrix}{1}&{0}\\{1}&{1}\end{bmatrix}.$$ Ambas matrices son invertibles, sin embargo $AB\neq BA$ como inmediatamente se comprueba.
  6. Interna. La suma de dos elementos de $\mathbb{R}[x]$ es claramente un elemento de $\mathbb{R}[x]$.
    Asociativa. Es una conocida propiedad de la suma de polinomios.
    Existencia de elemento neutro. El polinomio $$e(x)=0+0x+0x^2+\ldots+0x^n+\ldots$$ satisface $p(x)+e(x)=e(x)+p(x)=p(x)$ para todo $p(x)\in \mathbb{R}[x].$
    Existencia de elemento simétrico. Dado $$p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_nx^n+\ldots\in \mathbb{R}[x],$$ el polinomio $-p(x)=-a_0-a_1x-a_2x^2+\ldots-a_nx^n-\ldots\in \mathbb{R}[x]$ satisface $$p(x)+(-p(x))=(-p(x))+p(x)=e(x).$$ Conmutativa. Es una conocida propiedad de la suma de polinomios.
  7. Ver Un grupo conmutativo.
  8. Ver Grupo no abeliano en $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z} .$
  9. 1) Tenemos $y*x=y+x-yx=x+y-xy=x*y$, por tanto la operación es conmutativa. Por otra parte $$(x*y)*z=(x+y-xy)*z=(x+y-xy)+z-(x+y-xy)z$$ $$=x+y-xy+z-xz-yz+xyz.$$ $$x*(y*z)=x*(y+z-yz)=x+y+z-yz-x(y+z-yz)$$ $$=x+y+z-yz-xy-xz+xyz.$$ Es decir, la operación es asociativa. Veamos que existe elemento neutro $e$ para $*$. Efectivamente, $e$ es elemento neutro para $*$ si y sólo si $x*e=e*x=x$ para todo $x\in\mathbb{R}$, o equivalentemente $x+e-xe=x$ para todo $x\in\mathbb{R}$. Claramente $e=0$ cumple la igualdad anterior.Sea ahora $x\in\mathbb{R}$, entonces existe simétrico $x’$ simétrico de $x$ si y sólo si $x*x’=x’*x=0$ o bien $x+x’-xx’=0$ o bien $x’(1-x)=-x.$ Si $x\neq 1$ entonces existe $x’=x/(x-1)$. Si $x=1$ tenemos la relación $x’\cdot 0=-1$ y por tanto no existe $x’$. Concluimos que $(\mathbb{R},*)$ no es un grupo.

    2) Tenemos: $$x*x=x+x-x^2=2x-x^2=1-(1-x)^2,$$ $$x*x*x=(2x-x^2)*x=2x-x^2+x-(2x-x^2)x$$ $$=3x-3x^2+x^3=1-(1-x)^3.$$ Lo anterior sugiere la fórmula $$\underbrace{x*x*\ldots*x}_{n}=1-(1-x)^n.\quad (1)$$ Vamos a demostrarla por inducción. La fórmula hemos visto que es cierta para $n=2$. Sea cierta para $n$. Entonces $$\underbrace{x*x*\ldots*x}_{n+1}=(\underbrace{x*x*\ldots*x}_{n})*x$$ $$=1-(1-x)^n+x-[1-(1-x)^n]x$$ $$=1-(1-x)^n+\not x-\not x+x(1-x)^n$$ $$=1-(1-x)^n(1-x)=1-(1-x)^{n+1},$$ es decir la fórmula $(1)$ es cierta para $n+1$.

  10. Interna. El producto de dos números racionales no nulos es un número racional no nulo y $1/7$ es un racional no nulo, en consecuencia se verifica la propiedad interna.
    Asociativa. Para $a,b,c$ elementos de $\mathbb{Q}\setminus \{0\}$: $$(a*b)*c=\frac{ab}{7}*c=\frac{\frac{ab}{7}c}{7}=\frac{abc}{49},$$ $$a*(b*c)=a*\frac{bc}{7}=\frac{a\frac{bc}{7}}{7}=\frac{abc}{49}.$$ Se cumple.
    Elemento neutro. $e\in \mathbb{Q}\setminus \{0\}$ es elemento neutro si y sólo si $a*e=e*a=a$ para todo $a\in \mathbb{Q}\setminus \{0\}$ o equivalentemente si y sólo si $$\frac{ae}{7}=\frac{ea}{7}=a\quad \forall a\in \mathbb{Q}\setminus \{0\},$$ relaciones que se verifican para $e=7$.
    Elemento simétrico. Sea $a\in \mathbb{Q}\setminus \{0\}$, entonces $a’\in \mathbb{Q}\setminus \{0\}$ es simétrico de $a$ si y sólo si $a*a’=a’*a=7$ o equivalentemente si y sólo si $$\frac{aa’}{7}=\frac{a’a}{7}=7,$$ relaciones que se verifican para $a’=49/a$. Hemos demostrado que $(\mathbb{Q}\setminus \{0\}, *)$ es grupo.
    Es además abeliano pues para $a,b$ elementos de $\mathbb{Q}\setminus \{0\}$: $$a*b=\frac{ab}{7}=\frac{ba}{7}=b*a.$$
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