Concepto de grupo

Proporcionamos ejercicios sobre el concepto de grupo.

TEORÍA

1  Demostrar de manera esquemática que $(\mathbb{Z},+)$,  $(\mathbb{Q},+)$,  $(\mathbb{R},+)$ y  $(\mathbb{C},+)$ son grupos abelianos en donde $+$ representa en cada caso la suma habitual.

SOLUCIÓN

2  Demostrar de manera esquemática que el conjunto de las matrices reales de ordenes $m\times n$ (denotado por $M_{m\times n}(\mathbb{R})$ o bien por $\mathbb{R}^{m\times n})$ es grupo abeliano, siendo $+$ la suma habitual de matrices.

SOLUCIÓN

3  En el conjunto de los números reales se define las operación $x*y=x+y+4.$ Demostrar que $(\mathbb{R},*)$ es grupo abeliano.

SOLUCIÓN

4  Demostrar que el conjunto $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ de los números reales no nulos con la operación $\cdot$ producto habitual es un grupo abeliano.

SOLUCIÓN

5  Sea $G$ el conjunto de las matrices cuadradas reales de orden $n$ invertibles. Demostrar de manera esquemática que $(G,\cdot)$ es grupo, siendo $\cdot$ la operación usual producto de matrices. ¿Es abeliano?

SOLUCIÓN

6  Sea $\mathbb{R}[x]$ el conjunto de los polinomios en la indeterminada $x$ y coeficientes reales. Demostrar de manera esquemática que $(\mathbb{R}[x],+)$ es grupo abeliano, en donde $+$ representa la suma habitual de polinomios.

SOLUCIÓN

7  En el conjunto de los números reales $\mathbb{R}$ se define la operación $*$ mediante $x*y=\sqrt[ 3]{x^3+y^3}.$ Demostrar que $(\mathbb{R},*)$ es un grupo abeliano.

SOLUCIÓN

8  En $G=\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ se define la ley de composición interna $*$ mediante $$(x_1,y_1)*(x_2,y_2)=(x_1+(-1)^{y_1}x_2,y_1+y_2).$$ Probar que ley $*$ confiere a $G$ estructura de grupo no abeliano.

9  1) Demostrar que sobre $\mathbb{R}$ la ley interna definida por $x*y=x+y-xy,$ es conmutativa, asociativa y que admite elemento neutro. ¿Es $(\mathbb{R},*)$ un grupo?
2) Calcular $\underbrace{x*x*\ldots*x}_{n}.$

SOLUCIÓN

10  Estudiar si $(\mathbb{Q}\setminus \{0\}, *)$ es grupo siendo $a * b = \dfrac{ab}{7}$.

SOLUCIÓN
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