Primeras propiedades de los grupos

Proporcionamos ejercicios  sobre algunas propiedades de los grupos.

TEORÍA

1  Sea $(G,*)$ un grupo. Demostrar que:
$(i)$ El elemento neutro $e$ es único.
$(ii)$  Para cada $x\in G$ su simétrico $x’$ es único.
$(iii)$ Para cada  $x\in G$ se verifica $(x’)'=x$ (es decir, el simétrico del simétrico de un elemento es el elemento).
$(iv)$ Para cualquier par de elementos $x,y$ de $G$ se verifica $(x*y)’=y’*x’$ (es decir, el simétrico del operado de dos elementos es el operado de los simétricos cambiado de orden).
$(v)$ Todo elemento $a$ de $G$ es regular, es decir: $$a*b=a*c\Rightarrow b=c,\quad b*a=c*a\Rightarrow b=c.$$

SOLUCIÓN

2  Sea $(G,*)$ un grupo. Escribir la propiedad $(x*y)’=y’*x’$ en notaciones aditiva y multiplicativa.

SOLUCIÓN

3  Sea un grupo $(G,\cdot)$  tal que para todo $x\in G$ se verifica $x^2=e$. Demostrar que el grupo es abeliano.

SOLUCIÓN

4  Sobre un grupo multiplicativo abeliano, resolver la ecuación $xabxc=bxa.$

SOLUCIÓN

5  Sobre un grupo multiplicativo cualquiera, hallar una solución de la ecuación $xax=bba^{-1}.$

SOLUCIÓN
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