Primeras propiedades de los grupos

Proporcionamos ejercicios sobre algunas propiedades de los grupos.

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Sea $(G,*)$ un grupo. Demostrar que:
    $(i)$ El elemento neutro $e$ es único.
    $(ii)$ Para cada $x\in G$ su simétrico $x’$ es único.
    $(iii)$ Para cada $x\in G$ se verifica $(x’)'=x$ (es decir, el simétrico del simétrico de un elemento es el elemento).
    $(iv)$ Para cualquier par de elementos $x,y$ de $G$ se verifica $(x*y)’=y’*x’$ (es decir, el simétrico del operado de dos elementos es el operado de los simétricos cambiado de orden).
    $(v)$ Todo elemento $a$ de $G$ es regular, es decir: $$a*b=a*c\Rightarrow b=c,\quad b*a=c*a\Rightarrow b=c.$$
  2. Sea $(G,*)$ un grupo. Escribir la propiedad $(x*y)’=y’*x’$ en notaciones aditiva y multiplicativa.
  3. Sea un grupo $(G,\cdot)$ tal que para todo $x\in G$ se verifica $x^2=e$. Demostrar que el grupo es abeliano.
  4. Sobre un grupo multiplicativo abeliano, resolver la ecuación $xabxc=bxa.$
  5. Dado que el grupo es abeliano, la ecuación dada equivale a $xcxab=xab.$ Dado que los elementos de un grupo son regulares, queda $xc=e,$ con lo cual, $x=c^{-1}.$
    Solución
  1. $(i)$ Supongamos que existieran dos elementos neutros $e$ y $e’$. Por ser $e$ neutro se verifica $e*e’=e’$ y por ser $e’$ neutro, $e*e’=e$. En consecuencia $e=e’$.
    $(ii)$ Supongamos que $x$ tuviera dos simétricos $x’$ y $x”$, entonces se verificaría $$x*x’=x’*x=e,\quad x*x”=x”*x=e.$$ Las igualdades anteriores implican $x*x’=x*x”$. Entonces, $$x*x’=x*x”\Rightarrow x’*(x*x’)=x’*(x*x”)\Rightarrow $$ $$ (x’*x)*x’=(x’*x)*x”\Rightarrow e*x’=e*x”\Rightarrow x’=x”.$$ Es decir, para cada $x\in G$ su simétrico $x’$ es único.
    $(iii)$ Tenemos $(x’)*(x’)'=e$ y por otra parte $x’*x=e$. Dado que el simétrico de $x’$ es único se concluye que $(x’)'=x$.
    $(iv)$ Se verifica $$(x*y)*(y’*x’)=x*(y*y’)*x’=x*e*x’=x*x’=e.$$ Como el simétrico de cada elemento es único se concluye que $(x*y)’=y’*x’$.
    $(v)$ Si $a*b=a*c$, operando a la izquierda por el simétrico $a’$ de $a$: $$a’*(a*b)=a’*(a*c)\Rightarrow (a’*a)*b=(a’*a)*c$$ $$\Rightarrow e*b=e*c\Rightarrow b=c.$$ Si $b*a=c*a$, operando a la derecha por el simétrico $a’$ de $a$ obtenemos de manera análoga $b=c$.
  2. Si al grupo lo denotamos por $(G,+)$ la propiedad se escribe $$-(x+y)=(-y)+(-x),$$ o bien $$-(x+y)=-x-y.$$ Si al grupo lo denotamos por $(G,\cdot)$ la propiedad se escribe $$(xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}.$$
  3. Sean $x,y$ elementos de $G$, por hipótesis se verifica $$(xy)^2=e,\quad x^2=e,\quad y^2=e.$$ Esto implica $(xy)^2=x^2y^2$ o equivalentemente $xyxy=xxyy$. Como los elementos de un grupo son regulares a la derecha y a la izquierda, se deduce $yx=xy$. Es decir, el grupo es abeliano.
  4. Dado que el grupo es abeliano, la ecuación dada equivale a $xcxab=xab.$ Dado que los elementos de un grupo son regulares, queda $xc=e,$ con lo cual, $x=c^{-1}.$
  5. Multiplicando ambos miembros por $a$ a la derecha, queda $(xa)(xa)=bb.$ Basta por tanto elegir $x$ tal que $xa=b.$ En consecuencia, una solución de la ecuación dada es $x=ba^{-1}.$
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