Lineal, Bernoulli y Riccati

Enunciado
Resolver los siguientes problemas de valores iniciales, escribiendo en cada caso la solución forma explícita, y su intervalo de continuidad.

$a)$ $x’=\displaystyle\frac{t}{1+t^2}\;x+t,\;x(0)=2.$

$b)$ $x’=-\displaystyle\frac{tx}{1+t^2}-tx^2,\;x(0)=1/2.$

$c)$ $x’=\displaystyle\frac{t-t^3}{4(1+t^2)}+\displaystyle\frac{t^3}{1+t^2}x-tx^2,\;x(0)=1.$
Indicación: La ecuación tiene una solución particular constante.

 (Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. de Montes, UPM).

Solución
$a)$ Es una ecuación lineal. La ecuación homogénea asociada es $$\dfrac{dx}{x}-\dfrac{tdt}{1+t^2}=0.$$ Integrando: $$\log |x|-\displaystyle\frac{1}{2}\log(1+t^2)=K,\quad\log \displaystyle\left|\frac{x}{\sqrt{1+t^2}}\right|=K,\quad x=C\sqrt{1+t^2}.$$ Usaremos el método de variación de la constante, es decir obligamos a que la función $x=C(t)\sqrt{1+t^2}$ sea solución de la lineal completa: $$C’(t)\sqrt{1+t^2}+C(t)\;\displaystyle\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}=\displaystyle\frac{t}{1+t^2}\;C(t)\sqrt{1+t^2}+t$$ $$\Leftrightarrow C’(t)=\displaystyle\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}\Leftrightarrow C(t)=\sqrt{1+t^2}+C_1.$$ La solución general de la completa es por tanto $x=\sqrt{1+t^2}\;(\sqrt{1+t^2}+C_1).$ Imponiendo $x(0)=2$ obtenemos $C_1=1,$ en consecuencia la solución pedida es $$x=\sqrt{1+t^2}+1+t^2.$$ Su intervalo de continuidad es $(-\infty,+\infty).$

$b)$ Es una ecuación de Bernoulli. Dividiendo la ecuación entre $x^2:$ $$\displaystyle\frac{x’}{x^2}=-\displaystyle\frac{t}{x(1+t^2)}-t.$$ Efectuando el cambio $v=1/x$ obtenemos $v’=-x’/x^2$ y la ecuación se transforma en $$v’=\displaystyle\frac{t}{1+t^2}v+t.$$ La condición $x(0)=1/2$ equivale a $v(0)=2.$ Pero esta es exactamente el problema que se resolvió en el apartado anterior. Dado que $v=1/x$, la solución pedida es por tanto $$x=\displaystyle\frac{1}{1+t^2+\sqrt{1+t^2}}.$$ El intervalo de continuidad es $(-\infty,+\infty).$

$c)$ Es una ecuación de Riccati. Obligando a que la función constante $x=a$ sea solución de la ecuación dada: $$0=\displaystyle\frac{t-t^3}{4(1+t^2)}+\displaystyle\frac{t^3}{1+t^2}a+ta^2\Leftrightarrow $$ $$0=\displaystyle\frac{t-t^3+4t^3a-4(1+t^2)ta^2}{4(1+t^2)}\Leftrightarrow$$ $$
0=\displaystyle\frac{(-4a^2+4a-1)t^3+(1-4a^2)t}{4(1+t^2)}.$$ Para que la última igualdad sea una identidad, el polinomio del numerador ha de ser idénticamente nulo es decir, cuando $-4a^2+4a-1=0$ y $1-4a^2=0.$ Esta última igualdad se verifica para $a=\pm 1/2$ pero solamente $a=1/2$ verifica la primera. Concluimos que $x=1/2$ es solución de la ecuación diferencial dada. Efectuando el cambio $x=1/2+1/v$ obtenemos $x’=-v’/v^2.$ Sustituyendo en la ecuación dada, operando y simplificando obtenemos $$v’=\displaystyle\frac{t}{1+t^2}v+t.$$ La condición $x(0)=1$ equivale a $v(0)=2.$ Pero de nuevo, este es exactamente el problema que se resolvió en el apartado $a).$ Dado que $x=1/2+1/v$, la solución pedida es por tanto $$x=\dfrac{1}{2}+\displaystyle\frac{1}{1+t^2+\sqrt{1+t^2}}.$$ El intervalo de continuidad es $(-\infty,+\infty).$

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