Subgrupos

Proporcionamos ejercicios de subgrupos.

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Demostrar el teorema de caracterización de subgrupos:
    Sea $(G,*)$ un grupo y $H\subset G$. Entonces, $H$ es subgrupo de $G$ si y sólo si se verifican las condiciones
    $(i)$ $H\neq \emptyset.$
    $(ii)$ Para todo $x\in H$ y para todo $y\in H$ se verifica $x*y’\in H$.
  2. Demostrar que el conjunto $H$ de los enteros pares es un subgrupo de $(\mathbb{Z},+).$
  3. En $\mathbb{R}^2$ se define la operación $+$ de la siguiente manera: $$(x_1,x_2)+(y_1,y_2)=(x_1+y_1,x_2+y_2).$$
    $(i)$ Demostrar que $(\mathbb{R}^2,+)$ es grupo.
    $(ii)$ Demostrar que $H_1=\{(\alpha,0):\alpha\in\mathbb{R}\}$ y $H_2=\{(0,\beta):\beta\in\mathbb{R}\}$ son subgrupos de $\mathbb{R}^2.$
    $(iii)$ Demostrar que $H_1\cup H_2$ no es subgrupo de $\mathbb{R}^2$ (esto prueba que en general la unión de subgrupos de un grupo, no es subgrupo del mismo).
  4. Sea $(G,*)$ un grupo. Demostrar que $\{e\}$ y $G$ son subgrupos de $G$.
    Nota. A estos dos subgrupos se les llama subgrupos impropios, a los demás subgrupos de $G$ se les llama subgrupos propios.
  5. Sea $(G,*)$ un grupo y sean $H_1$ y $H_2$ subgrupos de $G$. Demostrar que $H_1\cap H_2$ es subgrupo de $G$.
  6. Sea el grupo $(G,\cdot)$ y sea $\{H_j:j\in J\}$ una familia de subgrupos de $G$. Demostrar que $\bigcap_{j\in J}H_j $ es subgrupo de $G$.
  7. Sea $m$ entero, y sea $(m)=\{x\in\mathbb{Z}:x\text{ es múltiplo de }m\}.$ Demostrar que $(m)$ es subgrupo de $(\mathbb{Z},+).$
  8. Demostrar que los únicos subgrupos de $\mathbb{Z}$ son los de la forma $(m)$ con $m$ entero.
    Solución
  1. Si $H$ es subgrupo de $G$ el neutro $e$ de $G$ pertenece a $H$ y por tanto $H\neq\emptyset.$ Si $x$ e $y$ son elementos de $H$, el simétrico $y’$ de $y$ pertenece a $H$ por ser $(H,*)$ grupo. Por la interna de $*$ en $H$ se verifica $x*y’\in H.$
    Recíprocamente, supongamos que se verifica $(i)$ y $(ii)$. Veamos que $H$ es subgrupo de $G$. Como $H\neq \emptyset$ sea $z\in H$. Por $(ii)$ se verifica $e=z*z’\in H$, es decir el neutro pertenece a $H$.
    Si $x\in H$, por $(ii)$ se verifica $x’=e*x’\in H$, es decir para todo elemento de $H$ su simétrico pertenece a $H$. Si $x,y$ son elementos de $H$, $y’\in H$ y por $(ii)$ se verifica $x*y=x*(y’)'\in H$, es decir $*$ es interna en $H$.
    Dado que la propiedad asociativa se cumple en $G$, también se verifica en $H$.Concluimos que $H$ es subgrupo de $G$.
  2. $(i)$ El elemento neutro $e=0$ pertenece a $H$ pues es número par.
    $(ii)$ Sean $x,y\in H,$ entonces $x*y’=x+(-y)=x-y\in H,$ pues la diferencia de números pares es un número par.
  3. $(i)$ Interna. Claramente se cumple pues la suma de dos números reales es un número real.
    Asociativa. Usando la propiedad asociativa de la suma en $\mathbb{R}$:$$\left[(x_1,x_2)+(y_1,y_2)\right]+(z_1,z_2)=(x_1+y_1,x_2+y_2)+(z_1,z_2)$$ $$
    =\left((x_1+y_1)+z_1,(x_2+y_2)+z_2\right)=\left(x_1+(y_1+z_1),x_2+(y_2+z_2)\right)$$ $$
    =(x_1,x_2)+(y_1+z_1,y_2+z_2)=(x_1,x_2)+\left[(y_1,y_2)+(z_1,z_2)\right].$$ Elemento neutro. El elemento $e=(0,0)$ de $\mathbb{R}^2$ claramente cumple $e+x=x+e=x$ para todo $x=(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2$
    Elemento simétrico. Para todo $x=(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2$ el elemento $x’=(-x_1,-x_2)$ de $\mathbb{R}^2$ satisface $x+x’=x’+x=e.$ Hemos demostrado que $(\mathbb{R}^2,+)$ es grupo. Además, es abeliano debido a que la suma en $\mathbb{R}$ es conmutativa.

    $(ii)$ Claramente $e=(0,0)\in H_1$. Por otra parte, dos elementos de $H_1$ son de la forma $(\alpha_1,0)$ y $(\alpha_2,0)$, entonces: $$(\alpha_1,0)+(\alpha_2,0)’=(\alpha_1,0)+(-\alpha_2,0)=(\alpha_1-\alpha_2,0)\in H_1.$$ Concluimos que $H_1$ es subgrupo de $\mathbb{R}^2$. De manera totalmente análoga se demuestra que $H_2$ también lo es.

    $(iii)$ El elemento $(1,0)$ pertenece a $H_1$ y el $(0,1)$ a $H_2$. Es decir $(1,0)$ y $(0,1)$ son elementos de $H_1\cup H_2$. Sin embargo, $$(1,0)+(0,1)=(1,1)\not\in H_1\cup H_2.$$ No se verifica la propiedad interna en $H_1\cup H_2$, en consecuencia $H_1\cup H_2$ no es subgrupo de $\mathbb{R}^2.$

  4. Se verifica $e\in \{e\}\subset G$ y $e*e’=e\in\{e\}$, por tanto $\{e\}$ es subgrupo de $G$. Dado que por hipótesis $(G,*)$ es grupo y $G\subset G$, se deduce que $G$ es subgrupo de $G$.
  5. $(i)$ Dado que $H_1$ y $H_2$ son subgrupos de $G$, el elemento neutro $e$ de $G$ pertenece a $H_1$ y a $H_2$, en consecuencia $e\in H_1\cap H_2.$

    $(ii)$ Si $x$ e $y$ pertenen a $H_1\cap H_2$, entonces $x\in H_1$, $x\in H_2$, $y\in H_1$, $y\in H_2$. Como $H_1$ y $H_2$ son subgrupos de $G$ se verifica que $x*y’$ pertenece a $H_1$ y a $H_2$ (teorema de caracterización de subgrupos), en consecuencia $x*y’\in H_1\cap H_2$. Concluimos que $H_1\cap H_2$ es subgrupo de $G$.

  6. Usamos el teorema de caracterización de subgrupos.
    $(i)$ Dado que $H_j$ es subgrupo de $G$ para todo $j$, el elemento neutro $e$ pertenece a $H_j$ para todo $j$ y por tanto $e\in \bigcap_{j\in J}H_j$.

    $(ii)$ Sean $x$ e $y$ elementos de $\bigcap_{j\in J}H_j$. Esto implica que $xy^{-1}\in H_j$ para todo $j$ por ser $H_j$ es subgrupo de $G$ para todo $j$. En consecuencia, $xy^{-1}\in \bigcap_{j\in J}H_j$. Concluimos que $\bigcap_{j\in J}H_j $ es subgrupo de $G$.

  7. Se verifica $ 0=0 m,$ por tanto $0$ es múltiplo de $m,$ es decir $0\in (m).$ Sean $x,y\in (m),$ entonces $x=km$ e $y=sm$ para ciertos enteros $k$ y $s$. Ahora bien, $x-y=(k-s)m$ siendo $k-s$ entero, lo cual implica que $x-y\in (m).$ Por el teorema de caracterización de subgrupos, concluimos que $(m)$ es subgrupo de $(\mathbb{Z},+).$
  8. Sabemos que para todo $m$ entero, $(m)$ es subgrupo de $\mathbb{Z}.$ Veamos que estos son los únicos. En efecto, sea $H\subset \mathbb{Z}$ subgrupo de $\mathbb{Z}.$ Si $H=\{0\},$ entonces $H=(0).$ Si $H\neq \{0\}$ existe algún entero positivo en $H,$ (pues si $n\in H,$ $-n\in H$). Llamemos $m$ al menor de los enteros positivos que pertenecen a $H.$ Demostremos que $H=(m).$
    $(i)$ $(m)\subset H.$ Si $x\in(m),$ entonces $x=km$ con $k$ entero, es decir o bien $m=0$ si $k=0,$ o bien $x=m+\ldots +m$ ($k$ sumandos si $k>0$), o bien $x=(-m)+\ldots + (-m)$ ($-k$ sumandos si $k<0$). Como $m\in H$ y $H$ es subgrupo, en cualquier caso $x\in H.$
    $(ii)$ $H\subset (m).$ Si $h\in H,$ efectuando la división euclídea de $h$ entre $m:$
    $$h=qm+r,\quad0\leq r<m,$$ con $q,r$ enteros. Entonces, $r=h-qm$ pertenece a $H,$ lo cual implica por la elección de $m$ (mínimo positivo en $H$) que $r=0,$ o sea $r=qm\in (m).$
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