Subgrupos

Proporcionamos ejercicios de subgrupos.

TEORÍA

1  Demostrar el teorema de caracterización de subgrupos:
Sea $(G,*)$ un grupo y $H\subset G$. Entonces, $H$ es subgrupo de $G$ si y sólo si se verifican las condiciones
$(i)$ $H\neq \emptyset.$
$(ii)$ Para todo $x\in H$ y para todo $y\in H$ se verifica $x*y’\in H$.

SOLUCIÓN

2  Demostrar que el conjunto $H$ de los enteros pares es un subgrupo de $(\mathbb{Z},+).$

SOLUCIÓN

3  En $\mathbb{R}^2$ se define la operación $+$ de la siguiente manera: $$(x_1,x_2)+(y_1,y_2)=(x_1+y_1,x_2+y_2).$$
$(i)$ Demostrar que $(\mathbb{R}^2,+)$ es grupo.
$(ii)$ Demostrar que $H_1=\{(\alpha,0):\alpha\in\mathbb{R}\}$ y $H_2=\{(0,\beta):\beta\in\mathbb{R}\}$ son subgrupos de $\mathbb{R}^2.$
$(iii)$ Demostrar que $H_1\cup H_2$ no es subgrupo de $\mathbb{R}^2$ (esto prueba que en general la unión de subgrupos de un grupo, no es subgrupo del mismo).

SOLUCIÓN

4  Sea $(G,*)$ un grupo. Demostrar que $\{e\}$ y $G$ son subgrupos de $G$.
Nota. A estos dos subgrupos se les llama subgrupos impropios, a los demás subgrupos de $G$ se les llama subgrupos propios.

SOLUCIÓN

5  Sea $(G,*)$ un grupo y sean $H_1$ y $H_2$ subgrupos de $G$. Demostrar que $H_1\cap H_2$ es subgrupo de $G$.

SOLUCIÓN

6  Sea el grupo $(G,\cdot)$ y sea $\{H_j:j\in J\}$ una familia de subgrupos de $G$. Demostrar que $\bigcap_{j\in J}H_j $ es subgrupo de $G$.

SOLUCIÓN

7  Sea $m$ entero,  y sea $(m)=\{x\in\mathbb{Z}:x\text{ es múltiplo de }m\}.$ Demostrar que $(m)$ es subgrupo de $(\mathbb{Z},+).$

SOLUCIÓN

8  Demostrar que los únicos subgrupos de $\mathbb{Z}$ son los de la forma $(m)$ con $m$ entero.

SOLUCIÓN
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