Tabla de Cayley

Proporcionamos ejercicios sobre la tabla de Cayley.

TEORÍA

1  Construir la tabla de Cayley del grupo $G=\{1,-1\}$ con la operación producto usual de números.

SOLUCIÓN

2  Sea $G=\{1,-1,i,-i\}$ en donde $i$ representa la unidad imaginaria. Se considera la operación $\cdot$ producto habitual de números complejos. Construir la correspondiente tabla de Cayley, y demostrar que $(G,\cdot )$ es grupo abeliano.

SOLUCIÓN

3  Sea $G=\left\{{f_1,f_2,f_3,f_4}\right\}$ el conjunto de las aplicaciones de $\mathbb{R}-\{0\}$ en $\mathbb{R}-\{0\}$ definidas mediante: $$f_1(x)=x\;,\;f_2(x)=\displaystyle\frac{1}{x}\;,\;f_3(x)=-x\;,\;f_4(x)=-\displaystyle\frac{1}{x}.$$ Construir la correspondiente tabla de Cayley para la operación $\circ$ composición de aplicaciones. Demostrar que $(G,\circ)$ es un grupo.

SOLUCIÓN

4  Sea $G=\{a,b,c\}$ y la operación $\cdot$ en $G$ cuya tabla de Cayley es
$$\begin{array}{r|*{3}{r}}{\cdot}&a&b&c\\\hline
{}a&a&b&c\\
{}b&b&c&a\\
{}c&c&a&b
\end{array}$$ Determinar su elemento neutro, si éste existe y el inverso de cada elemento caso de existir.

SOLUCIÓN
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