Generadores de un grupo, grupo cíclico

Proporcionamos ejercicios sobre generadores de un grupo grupo cíclico.

TEORÍA

1  Sea $(G,\cdot)$ un grupo y $S$ un subconjunto no vacío de $G$.. Sea $\langle S \rangle$ el conjunto de todos los elementos de $G$ que son producto de un número finito de elementos de tal manera que cada factor es o bien un elemento de $S$ o bien el inverso de un elemento de $S$. Demostrar que:
$(i)$ $\langle S \rangle$ es subgrupo de $G$ (según sabemos, se le llama subgrupo generado por $S$).
$(ii)$ $\langle S \rangle$ contiene a $S$ y es el menor de todos los subgrupos de $G$ que contienen a $S.$

SOLUCIÓN

2  Sea $(G,\cdot)$ un grupo y $S$ un subconjunto no vacío de $G$. Demostrar que $\langle S \rangle=\bigcap H_i$ en donde $\{H_i\}$ es la familia de todos los subgrupos de $G$ que contienen a $S$.

SOLUCIÓN

3  Sea el grupo $(\mathbb{C},+)$ con la operación $+$ usual. Determinar $\langle S\rangle$, siendo $S=\{1,i\}$.

SOLUCIÓN

4  Se considera el grupo $G=\{1,-1\}$ con la operación $\cdot$ producto habitual de números. Demostrar que el grupo es cíclico.

SOLUCIÓN

5  Se considera el grupo $G=\{1,-1,i,-i\}$ ($i$ es unidad imaginaria) con la operación $\cdot$ producto habitual de números complejos. Demostrar que el grupo es cíclico.

SOLUCIÓN

6  Demostrar que $(\mathbb{Z},+)$ es cíclico ($+$ es la suma habitual).

SOLUCIÓN

7  Demostrar que todo grupo cíclico es conmutativo.

SOLUCIÓN

8  Demostrar que todo subgrupo de un grupo cíclico es cíclico.

SOLUCIÓN
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