Integral $ \int_{T}\bar{z}^2\;dz$ sobre una curva de Jordan

Calculamos la integral de una función sobre el borde de un triángulo y generalizamos a una curva de Jordan.

Enunciado
Sean $a,b$ y $c$ tres puntos no alineados del plano complejo. Calcular la integral $$\displaystyle\int_{T}\bar{z}^2\;dz,$$ siendo $T$ el borde del triángulo determinado por los puntos anteriores y recorrido en el sentido positivo. Generalizar el resultado obtenido al caso en el que se sustituya en la integral anterior el triángulo $T$ por una curva de Jordan $\Gamma.$

(Propuesto en examen, Ampliación de Cálculo, ETS Ing. Industriales, UPM).

Solución
Desarrollando la función integrando: $$\displaystyle\int_{T}\bar{z}^2\;dz=\displaystyle\int_{T}(x-iy)^2\;(dx+idy)=\displaystyle\int_{T}(x^2-y^2-2xyi)\;(dx+idy)$$ $$=\displaystyle\int_{T}(x^2-y^2)\;dx+2xy\;dy+i\displaystyle\int_{T}-2xy\;dx+(x^2-y^2)\;dy.$$ Usando el teorema de Green $$I_1=\displaystyle\int_{T}(x^2-y^2)\;dx+2xy\;dy=4\displaystyle\iint_{D}y\;dxdy=4M_x,$$  $$I_2=\displaystyle\int_{T}-2xy\;dx+(x^2-y^2)\;dy=4\displaystyle\iint_{D}x\;dxdy=4M_y,$$ en donde $M_x,\;M_y$ son los momentos estáticos de la placa $D$ que limita el triángulo cuando la densidad es $\delta (x,y)=1.$ Si $(x_g,y_g)$ es el centro de gravedad de $D$ (es decir, el baricentro del triángulo) entonces $(x_g,y_g)=(M_y/A,M_x/A)$ siendo $A$ el área del triángulo. Por tanto $$\displaystyle\int_{T}\bar{z}^2\;dz=I_1+iI_2=4A(x_g+iy_g)=\dfrac{4A(a+b+c)}{3}.$$ El razonamiento es análogo si sustituimos $T$ por una curva de Jordan $\Gamma.$ La integral es $$\displaystyle\int_{\Gamma}\bar{z}^2\;dz=I_1+iI_2=4A(x_g+iy_g),$$ siendo $A$ el área del recinto $D$ que limita $\Gamma$ y $(x_g,y_g)$ el centro de gravedad de la placa $D$ para la densidad $\delta (x,1)=1.$

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