Ecuación diferencial homogénea

Proporcionamos ejercicios sobre la ecuación diferencial homogénea.

Enunciado
1. Demostrar que si la ecuación $Pdx+Qdy=0$ es homogénea, entonces la sustitución $y=vx$ la transforma en una de variables separadas.
2. Resolver la ecuación diferencial $(x^2-y^2)dx+2xydy=0.$
3. Resolver la ecuación diferencial $\left(2ye^{y/x}-x\right)y’+2x+y=0.$

Solución
Recordamos que la ecuación diferencial: $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$ se dice que es homogénea cuando $P$ y $Q$ son funciones homogéneas del mismo grado.

1. La sustitución $y=vx$ transforma $P$ y $Q$ en las formas $P(x,y)=P(x,vx)$ y $Q(x,y)=Q(x,vx)$. Si $P$ y $Q$ son homogéneas del mismo grado $d$ entonces $$P(x,vx)=P(1\cdot x,vx)=x^dP(1,v)=x^dR(v),$$ $$Q(x,vx)=Q(1\cdot x,vx)=x^dQ(1,v)=x^dS(v).$$ La ecuación inicial se transforma en $(R(v)+vS(v))dx+xS(v)dv=0$ que es de variables separadas.

2. Las funciones $P$ y $Q$ son homogéneas de grado $2$. Efectuando la sustitución $y=vx$ obtenemos $$(x^2-v^2x^2)dx+2x^2v(vdx+xdv)=0.$$ Simplificando y separando variables $$ \dfrac{dx}{x}+\dfrac{2vdv}{1+v^2}=0.$$ Integrando $$\displaystyle\int \displaystyle\frac{dx}{x}+\displaystyle\int \displaystyle\frac{2vdv}{1+v^2}=K
\;,\; \log |x|+\log |1+v^2|=K\;,\;\log |x(1+v^2)|=K.$$ Tomando exponenciales queda $x(1+v^2)=C$. Sustituyendo $v=y/x$ obtenemos la integral general $$x^2+y^2=Cx.$$

3. La ecuación es $(2x+y)dx+\left(2ye^{y/x}-x\right)dy=0$ y las dos funciones son homogéneas de grado $1.$ Efectuando el cambio $y=vx:$ $$(2x+vx)dx+(2vxe^v-x)(vdx+xdv)=0,$$ $$(2+v)dx+(2ve^v-1)(vdx+xdv)=0,$$ $$(2+2v^2e^v)dx+(2ve^v-1)xdx=0,$$ $$\frac{dx}{x}+\frac{2ve^v-1}{2v^2e^v+2}dv=0,\quad \int\frac{dx}{x}+\frac{1}{2}\int\frac{2ve^v-1}{v^2e^v+1}dv=K.$$ Calculemos la segunda integral. Sumando y restando en el numerador $v^2e^v:$ $$\int\frac{2ve^v-1}{v^2e^v+1}dv=\int\frac{2ve^v+v^2e^v-v^2e^v-1}{v^2e^v+1}dv$$ $$=\int\frac{2ve^v+v^2e^v}{v^2e^v+1}dv-\int dv=\log (v^2e^v+1)-v.$$ La solución general de la ecuación es por tanto $$\log \left|x\right|+\frac{1}{2}\log (v^2e^v+1)-\frac{1}{2}v=K,$$ $$2\log \left|x\right|+\log (v^2e^v+1)=2K+v,$$ $$\log \left|x(v^2e^v+1)\right|=2K+v,\quad x(v^2e^v+1)=e^{2K}e^v=Ce^v.$$ Sustituyendo $v=y/x$ y simplificando, obtenemos la solución general de la ecuación dada: $$y^2+x^2e^{-y/x}=C.$$

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