Subgrupos normales

Proporcionamos ejercicios sobre subgrupos normales.

TEORÍA

1  Sea $(G,\cdot)$ un grupo y $H$ un subgrupo de $G.$ Se definen en $G$ las relaciones: $$xRy\Leftrightarrow xy^{-1}\in H,\quad xSy\Leftrightarrow x^{-1}y\in H.$$ 1. Demostrar que $R$ y $S$ son relaciones de equivalencia en $G.$
2.  Determinar los conjuntos cocientes $G/R$ y $G/S.$
3.  Demostrar que $H$ es subgrupo normal si y sólo si $R=S.$

SOLUCIÓN

2  Sea $(G,\cdot)$ un grupo y $H$ un subgrupo de $G.$ Demostrar que $H$  es normal $\Leftrightarrow$ $\forall g\in G\;\forall h\in H$  se verifica $ghg^{-1}\in H.$

SOLUCIÓN

3  Se considera el conjunto $$G=\left\{\begin{bmatrix}a&b\\0&1\end{bmatrix}:a,b\in\mathbb{R}, a\neq 0\right\}.$$ $i)$ Demostrar que $(G,\cdot)$ es un grupo, en donde $\cdot$ representa el producto usual de matrices.
$ii)$ Demostrar que $H=\{M\in G:a=1\}$ es subgrupo normal de $G$

(Propuesto en examen, Álgebra, ETS Ing. de Caminos, UPM).

SOLUCIÓN

4  Si $(G,\cdot)$ es un grupo, se define el centro de $G$ denotado por $Z(G)$ como $$Z(G)=\{z\in G:gz=zg\;,\;\;\forall g\in G\},$$ es decir, como el conjunto de los elementos de $G$ que conmutan con todos los de $G$. Demostrar que $Z(G)$ es subgrupo normal de $G$.

SOLUCIÓN
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