Subgrupos normales

Proporcionamos ejercicios sobre subgrupos normales.

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Sea $(G,\cdot)$ un grupo y $H$ un subgrupo de $G.$ Se definen en $G$ las relaciones: $$xRy\Leftrightarrow xy^{-1}\in H,\quad xSy\Leftrightarrow x^{-1}y\in H.$$ (a) Demostrar que $R$ y $S$ son relaciones de equivalencia en $G.$
    (b) Determinar los conjuntos cocientes $G/R$ y $G/S.$
    (c) Demostrar que $H$ es subgrupo normal si y sólo si $R=S.$
  2. Sea $(G,\cdot)$ un grupo y $H$ un subgrupo de $G.$ Demostrar que $H$ es normal $\Leftrightarrow$ $\forall g\in G\;\forall h\in H$ se verifica $ghg^{-1}\in H.$
  3. Se considera el conjunto $$G=\left\{\begin{bmatrix}a&b\\0&1\end{bmatrix}:a,b\in\mathbb{R}, a\neq 0\right\}.$$ $i)$ Demostrar que $(G,\cdot)$ es un grupo, en donde $\cdot$ representa el producto usual de matrices.
    $ii)$ Demostrar que $H=\{M\in G:a=1\}$ es subgrupo normal de $G$

    (Propuesto en examen, Álgebra, ETS Ing. de Caminos, UPM).

  4. Si $(G,\cdot)$ es un grupo, se define el centro de $G$ denotado por $Z(G)$ como $$Z(G)=\{z\in G:gz=zg\;,\;\;\forall g\in G\},$$ es decir, como el conjunto de los elementos de $G$ que conmutan con todos los de $G$. Demostrar que $Z(G)$ es subgrupo normal de $G$.
    1. Solución
    2. (a) Veamos que $R$ es relación de equivalencia:
      Reflexiva. Para todo $x\in G$ se verifica $xx^{-1}=e\in H,$ es decir $xRx.$
      Simétrica. Para todo $x,y\in G:$ $$xRy\Rightarrow xy^{-1}\in H\Rightarrow (H\text{ subgrupo })\; (xy^{-1})^{-1}\in H$$ $$\Rightarrow (y^{-1})^{-1}x^{-1}\in H\Rightarrow xy^{-1}\in H\Rightarrow yRx.$$ Transitiva. Para todo $x,y,z\in G:$ $$\left \{ \begin{matrix} xRy\\yRz \end{matrix}\right.\Rightarrow \left \{ \begin{matrix} xy^{-1}\in H\\yz^{-1}\in H \end{matrix}\right.$$ $$\Rightarrow (H\text{ subgrupo })\;(xy^{-1})(yz^{-1})=xz^{-1}\in H\Rightarrow xRz.$$ De manera análoga se demuestra que $S$ es relación de equivalencia en $G.$
      (b) Determinemos los elementos de $G/R.$ Si $g\in G,$ la clase de equivalencia a la que pertenece $g$ es: $$[g]=\{x\in G:xRg\}=\{x\in G:xg^{-1}\in H\},$$ es decir $x\in [g]$ si y sólo si $xg^{-1}=h$ para algún $h\in H,$ o equivalentemente, $x=hg$ para algún $h\in H.$ Por tanto $[g]=Hg.$ De manera análoga se demuestra que la clase de equivalencia a la que pertenece $g$ para la relación $S$ es $gH.$
      (c) Las relaciones $R$ y $S$ son iguales equivale a decir que para todo $g\in G,$ su clase de equivalencia para la relación $R$ es igual a su clase de equivalencia para la relación $S.$ Esto equivale a $gH=Hg$ para todo $g\in G,$ que a su vez equivale a decir que el subgrupo $H$ es normal.
    3. $\Rightarrow)$ Sean $g\in G$ y $h\in H$ cualesquiera. Entonces, $gh\in gH.$ Pero por hipótesis $gH=Hg,$ por tanto $gh=h_1g$ para algún $h_1\in G.$ Esto implica $ghg^{-1}=h_1\in H.$
      $\Leftarrow)$ Sea $g\in G$ genérico. Veamos que $gH=Hg,$ lo cual demostrará que $H$ es normal. En efecto, si $x\in gH,$ entonces $x=gh$ para algún $h\in H.$ Multiplicando a la derecha por $g^{-1}$ queda $xg^{-1}=ghg^{-1},$ que pertenece a $H$ por hipótesis. Es decir, $xg^{-1}=h_1$ para algún $h_1\in H,$ lo que equivale a decir $x=h_1g\in Hg.$ Hemos demostrado que $gH\subset Hg.$ De manera análoga se demuestra que $Hg\subset gH.$
    4. $i)$ Interna. Multipliquemos dos matrices genéricas de $G$: $$\begin{bmatrix}a&b\\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a’&b’\\0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}aa’&ab’+b\\0&1\end{bmatrix}.$$ Por hipótesis $a$ y $a’$ son no nulos, por tanto $aa’$ es no nulo lo cual implica que el producto de dos matrices de $G$ pertenece a $G$.
      Asociativa. Se cumple en general para matrices cuadradas del mismo orden, en particular para las matrices de $G$.
      Elemento neutro. Para $a=1,b=0$ obtenemos la matriz identidad $I$ de orden $2$, que satisface $AI=IA=A$ para toda matriz de $G$. Es decir existe elemento neutro siendo éste la matriz identidad $I$.
      Elemento inverso. Sea $A=\begin{bmatrix}a&b\\0&1\end{bmatrix}.$ Su inversa es la matriz $$A^{-1}=\begin{bmatrix}1/a&-b/a\\0&\;\;1\end{bmatrix},$$ que claramente pertenece a $G$ y satisface $AA^{-1}=A^{-1}A=I$. Es decir, todo elemento de $G$ posee inverso en $G$. Concluimos que $(G,\cdot)$ es un grupo.

      $ii)$ La matriz identidad $I$ de orden $2$ (es decir, el elemento neutro de $G$) pertenece a $H$. Por otra parte, $$\begin{bmatrix}1&b\\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&b’\\0&1\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}1&b\\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&-b’\\0&\;\;1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&b-b’\\0&1\end{bmatrix}\in H,$$
      es decir $H$ es subgrupo de $G$. Veamos que es subgrupo normal. Efectivamente para matrices genéricas $A\in G$ y $M\in H$ tenemos $$AMA^{-1}=\begin{bmatrix}a&b\\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&m\\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1/a&-b/a\\0&\;\;1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&am\\0&\;\;1\end{bmatrix}\in H.$$

    5. $1\in Z(G)$ pues $g1=1g$ para todo $g\in G$. Sean ahora $g_1,g_2\in Z(G)$ y $g\in Z(G)$. Entonces $$g(g_1g_2^{-1})=(gg_1)g_2^{-1}=(g_1g)g_2^{-1}=g_1(gg_2^{-1}).$$ Como $g_2\in Z(G)$ se verifica $g_2g^{-1}=g^{-1}g_2$, y tomando inversos $gg_2^{-1}=g_2^{-1}g$. Por tanto $$g(g_1g_2^{-1})=g_1(g_2^{-1}g)=(g_1g_2^{-1})g,$$ es decir $g_1g_2^{-1}\in Z(G)$, en consecuencia $Z(G)$ es subgrupo de $G$.Veamos que es normal. Si $g\in G$ y $h\in Z(G)$ se verifica $gh=hg$ y por tanto $h=g^{-1}hg$. Entonces, $h=g^{-1}hg\in Z(G)$ lo cual implica que $Z(G)$ es normal.
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