Límite de las raíces de $ p_n(x)=x^{n+2}-2x+1 $

Enunciado
Se considera la sucesión de polinomios dada por $$p_n(x)=x^{n+2}-2x+1\qquad n=1,2,3,\ldots$$ Se pide:
1) Comprobar que todos estos polinomios tienen un cero común.
2) Demostrar que cada polinomio tiene como máximo un cero en el intervalo abierto $(0,1).$
3) Comprobar que cada polinomio tiene de hecho un cero en $(0,1).$
4) Sea $(x)_{n\geq 1}$ la sucesión formada por los ceros de los polinomios $p_n$ en $(0,1).$ Comprobar que esta sucesión converge.
5) Calcular $\displaystyle\lim_{n \to \infty} x_n.$
Sugerencia: Inténtese una interpretación geométrica de la ecuación.

(Propuesto en examen, Cálculo, ETS de Ing. Industriales, UPM).

Solución
1) Para todo $n=1,2,3,\ldots$ se verifica $$p_n(1)=1^{2n+1}-2\cdot 1+1=1-2+1=0,$$ lo cual implica que $1$ es un cero común a todos los polinomios $p_n.$

2) Supongamos que $p_n$ tuviera mas de un cero en el intervalo $(0,1).$ Sean $a,b$ con $0<a<b<1$ dos de estos ceros, es decir $p_n(a)=p_n(b)=0.$ La función $p_n$ es polinómica y por tanto derivable en todo $\mathbb{R}.$ Como consecuencia es continua en $[a,b],$ derivable en $(a,b)$ y además cumple $p_n(a)=p_n(b).$ Por el teorema de Rolle, existiría un $\xi_1\in (a,b)$ tal que $p’_n(\xi_1)=0.$

También $p_n$ es continua en $[b,1],$ derivable en $(b,1)$ y además cumple $p_n(b)=p_n(1).$ De nuevo, como consecuencia del teorema de Rolle, existiría un $\xi_2\in (b,1)$ tal que $p’_n(\xi_2)=0.$ Dado que $0<\xi_1<\xi_2<1,$ el polinomio $p’_n$ tendría al menos dos raíces en $(0,1).$ Ahora bien, $$p’_n(x)=(n+2)x^{n+1}-2=0 \Leftrightarrow x=\sqrt[n+1]{\dfrac{2}{n+2}}.$$ Como $0<2/(n+2)<1$ para todo $n=1,2,3,\ldots,$ la raíz $r_n=\sqrt[n+1]{2/(n+2)}$ sólo puede tomar un valor en $(0,1),$ lo cual es absurdo.

3. El único punto crítico de $p_n$en $(0,1$ es $r_n.$ Tenemos $p_n^{\prime\prime}(x)=(n+2)(n+1)x^n$ y $p_n^{\prime\prime}(r)>0,$ lo cual implica que $p_n$ tiene en $r_n$ un mínimo relativo. Dado que $p_n$ es estrictamente creciente en $(r_n,1]$ y que $p_n(1)=0,$ ha de ser necesariamente $p_n(r)<0.$ Como $p_n(0)=1>0$ y $p_n$ es continua en $[0,r_n],$ por el teorema de Bolzano existe $x_n\in (0,r_n)$ tal que $p_n(x_n)=0.$ Más aún, al ser $p_n(1/2)=1/2^{n+2}>0,$ podemos asegurar que $x_n\in (1/2,r_n).$

De todo lo anterior, concluimos que todo polinomio $p_n$ tiene exactamente una raíz en $(0,1)$ y además se verifica  $1/2<x_n< r_n.$

4. La sucesión $(x)_{n\geq 1}$ está acotada inferiormente por $1/2,$ si demostramos que es monótona decreciente quedará demostrado que es convergente. Tenemos $$\displaystyle\begin{aligned}
p_n(x)-p_{n+1}(x)&=x^{n+2}-2x+1-(x^{n+3}-2x+1)\\
&=x^{n+2}-x^{n+3}=x^{n+2}(1-x).
\end{aligned}$$ Como $x^{n+2}(1-x)>0$ en $(0,1)$ se deduce que $p_n(x)>p_{n+1}(x)$ en $(0,1).$ De la interpretación de las gráficas de $y=p_n(x)$ concluimos que $x_n>x_{n+1}$ para todo $n=1,2,3,\ldots,$ y por tanto la sucesión es monótona decreciente.

5. Sea $l=\lim_{n\to \infty}x_n.$ Necesariamente es $1/2<l<1,$ y por tanto  $x_n^{n+2}\to l^{+\infty}=0$ cuando $n\to +\infty.$ Como $x_n$ es raíz de $p_n,$ se verifica $x_n^{n+2}-2x_n+1=0.$ Tomando límites en esta última igualdad obtenemos $0-2l+1=0,$ es decir $l=1/2.$ Por tanto: $$\displaystyle\lim_{x \to \infty}{x_n}=\frac{1}{2}.$$

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