Grupo cociente

Proporcionamos ejercicios sobre el grupo cociente.

TEORÍA

1  Sea $(G,\cdot)$ un grupo y $H$ un subgrupo de $G.$  Demostrar que:
$(i)$ La relación en $G:$ $xRy\Leftrightarrow xy^{-1}\in H$ es de equivalencia.
$(ii)$ Si $H$ es subgrupo normal, para todo $g\in G$ la clase de equivalencia a la que pertenece $g$ es $gH.$

SOLUCIÓN

2  Sea $(G,\cdot)$ un grupo y $H$ un subgrupo normal de $G.$  Demostrar que $G/H$ es grupo con la operación $(aH)(bH)=(ab)H\; \forall a,b\in G.$

SOLUCIÓN

3  Demostrar que $i2\pi\mathbb{Z}=\{i2\pi k:k\in\mathbb{Z}\}$ es un subgrupo del grupo aditivo de los números complejos. Determinar el grupo cociente $\mathbb{C}/i2\pi\mathbb{Z}.$

SOLUCIÓN

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