Grupo cociente

Proporcionamos ejercicios sobre el grupo cociente.

Enunciado
1. Sea $(G,\cdot)$ un grupo y $H$ un subgrupo de $G.$ Demostrar que:
   $(i)$ La relación en $G:$ $xRy\Leftrightarrow xy^{-1}\in H$ es de equivalencia.
   $(ii)$ Si $H$ es subgrupo normal, para todo $g\in G$ la clase de equivalencia a la que pertenece $g$ es $gH.$
2. Sea $(G,\cdot)$ un grupo y $H$ un subgrupo normal de $G.$ Demostrar que $G/H$ es grupo con la operación $(aH)(bH)=(ab)H\; \forall a,b\in G.$
3. Demostrar que $i2\pi\mathbb{Z}=\{i2\pi k:k\in\mathbb{Z}\}$ es un subgrupo del grupo aditivo de los números complejos. Determinar el grupo cociente $\mathbb{C}/i2\pi\mathbb{Z}.$

Solución
1. $(i)$ Reflexiva. Para todo $x\in G$ se verifica $xx^{-1}=e\in H,$ es decir $xRx.$
   Simétrica. Para todo $x,y\in G:$ $$xRy\Rightarrow xy^{-1}\in H\Rightarrow (H\text{ subgrupo })\; (xy^{-1})^{-1}\in H$$ $$\Rightarrow (y^{-1})^{-1}x^{-1}\in H\Rightarrow xy^{-1}\in H\Rightarrow yRx.$$ Transitiva. Para todo $x,y,z\in G:$ $$\left \{ \begin{matrix} xRy\\yRz \end{matrix}\right.\Rightarrow \left \{ \begin{matrix} xy^{-1}\in H\\yz^{-1}\in H \end{matrix}\right.$$ $$\Rightarrow (H\text{ subgrupo })\;(xy^{-1})(yz^{-1})=xz^{-1}\in H\Rightarrow xRz.$$
   $(ii)$ Determinemos los elementos de $G/R.$ Si $g\in G,$ la clase de equivalencia a la que pertenece $g$ es: $$[g]=\{x\in G:xRg\}=\{x\in G:xg^{-1}\in H\},$$ es decir $x\in [g]$ si y sólo si $xg^{-1}=h$ para algún $h\in H,$ o equivalentemente, $x=hg$ para algún $h\in H.$ Por tanto $[g]=Hg.$ Ahora bien, como $H$ es normal, también $[g]=gH.$
2. Lo primero que tenemos que demostrar es que la operación dada en $G/H$ está bien definida. Es decir, tenemos que demostrar que si $aH=a_1H$ y $bH=b_1H,$ entonces $$(aH)(bH)=(a_1H)(b_1H).\quad (1)$$ Esto es claro, si no no ocurriera $(1),$ la operación en $G/H$ dependería del representante elegido para cada clase, y no de la clase en sí.Supongamos pues que $aH=a_1H$ y $bH=b_1H.$ Esto implica que $aa_1^{-1}\in H$ y $bb_1^{-1}\in H,$ o equivalentemente $aa_1^{-1}=h_1$ y $bb_1^{-1}=h_2$ con $h_1$ y $h_2$ en $H.$ Entonces, $$\begin{aligned}&(ab)(a_1b_1)^{-1}=abb_1^{-1}a_1^{-1}=ah_2a_1^{-1}\in H \;(\text{ pues }H\text{ es normal})\\&\Rightarrow (ab)H=(a_1b_1)H\Rightarrow (aH)(bH)=(a_1H)(b_1H).\end{aligned}$$ Interna. Claramente, el producto de dos elementos cualesquiera de $G/H$ es un elemento de $G/H.$
   Asociativa. Para todo $aH,$ $bH,$ $cH\in G/H$ y teniendo en cuenta la propiedad asociativa en $G:$ $$\begin{aligned}&(aH)\left[(bH)(cH)\right]=(aH)\left((bc)H\right)=(a(bc))H\\&=((ab)c)H=\left((ab)H\right)(cH)=\left[(aH)(bH)\right](cH).\end{aligned}$$
   Elemento neutro. El elemento $eH$ de $G/H$ satisface para todo $aH\in G/H:$ $$(aH)(eH)=(ae)H=aH,\quad (eH)(aH)=(ea)H=aH,$$ por tanto $eH=H$ es elemento neutro.
   Elemento simétrico. Para todo $aH\in G/H,$ el elemento $a^{-1}H\in G/H$ satisface: $$(aH)(a^{-1}H)=(aa^{-1})H=eH,$$ $$(a^{-1}H)(aH)=(a^{-1}a)H=eH,$$ por tanto todo $aH\in G/H$ tiene elemento simétrico, siendo este $a^{-1}H.$ Concluimos que $G/H$ es grupo con la operación dada.
3. El neutro del grupo aditivo de los numeros complejos es $0=i2\pi\cdot 0\in i2\pi\mathbb{Z}.$
   Si $i2\pi k$ e $i2\pi k’$ son dos elementos de $i2\pi\mathbb{Z},$ $$i2\pi k-i2\pi k’=i2\pi (k-k’)\text{ con }k-k’\in\mathbb{Z},$$ lo cual implca que $i2\pi k-i2\pi k’\in i2\pi\mathbb{Z}.$ Esto demuestra que $i2\pi\mathbb{Z}$ es subgrupo del grupo aditivo de los números complejos.Dado que $(\mathbb{C},+)$ es comutativo, cualquier subgrupo es normal y por tanto está definido el grupo cociente $\mathbb{C}/i2\pi\mathbb{Z}=\{z+i2\pi\mathbb{Z}:z\in\mathbb{C}\},$ siendo la operación suma en este grupo: $$(z+i2\pi\mathbb{Z})+(w+i2\pi\mathbb{Z})=(z+w)+i2\pi\mathbb{Z}.$$