Integrales de Fresnel

Enunciado
Se sabe que las integrales de Fresnel: $$ I_1=\displaystyle\int_0^{+\infty}\cos x^2\;dx,\quad I_2=\displaystyle\int_0^{+\infty}\operatorname{sen} x^2\;dx,$$ son convergentes. Calcular su valor.
Indicación: usar la integral de Euler, es decir $ \displaystyle\int_0^{+\infty}e^ {-x^2}\;dx=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2} .$

Solución
Consideremos la función $ f(z)=e^{iz^2} $ y el contorno $ \gamma \equiv OABO $ de la figura:

Tenemos $$ \displaystyle\int_{\gamma}e^{iz^2}\;dz=\displaystyle\int_0^R e^{ix^2}\;dx+\displaystyle\int_{AB}e^{iz^2}\;dz+\displaystyle\int_{BO}e^{iz^2}\;dz.\qquad (1) $$ Se verifica $ \int_{\gamma}e^{iz^2}\;dz=0 $ pues la función $ f(z) $ es holomorfa en $ \mathbb{C}. $ Veamos que $ \lim_{R\to +\infty} \int_{AB}e^{iz^2}\;dz=0. $ Haciendo el cambio $w =z^2 $, obtenemos $ dz=\frac{dw}{2\sqrt{w}} $ y el arco $ AB $ se transforma en el $ DE:$

Por tanto, $ \displaystyle{ \int_{AB}e^{iz^2}\;dz= \int_{DE}\frac{e^{iw}}{2\sqrt{w}}\;dz }.$ Por otra parte y para $ |z|=R: $ $$ \left| \dfrac{1}{2\sqrt{w}} \right|=\dfrac{1}{2(R^2)^{1/2}}=\dfrac{1/2}{(R^2)^{1/2}}=\dfrac{1/2}{(R^2)^k}\;\;(k=1/2>0) .$$ Por un conocido lema de acotación: $$\displaystyle\lim_{R^2 \to{+}\infty}\displaystyle\int_{DE}\displaystyle\frac{e^{iz^2}}{2\sqrt{w}}\;dw=\displaystyle\lim_{R \to{+}\infty} \displaystyle\int_{AB}e^{iz^2}\;dz=0.$$ Hallemos ahora $\int_{BO}e^{iz^2}\;dz.$ Los puntos del segmento $BO$ son de la forma $z=\rho e^{\pi i/4}$ con $\rho\in [0,R],$ en consecuencia: $$\displaystyle\int_{BO}e^{iz^2}\;dz=\displaystyle\int_R^0e^{i\rho^2e^{\pi i/2}}e^{\pi i/4}\;d\rho=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}(1+i)\displaystyle\int_0^Re^{-\rho^2}\;d\rho.$$ Tomando límites en la igualdad (1) y usando que $\int_{0}^{+\infty}e^{-\rho^2}\;d\rho=\sqrt{\pi}/2:$ $$0=\displaystyle\int_0^{+\infty}\cos x^2\;dx+i\displaystyle\int_0^{+\infty}\operatorname{sen} x^2\;dx-\dfrac{\sqrt{2}}{2}(1+i)\cdot \dfrac{\sqrt{\pi}}{2}.$$ Igualando partes real e imaginaria: $$\displaystyle\int_0^{+\infty}\cos x^2\;dx=\displaystyle\int_0^{+\infty}\operatorname{sen} x^2\;dx=\displaystyle\frac{\sqrt{2\pi}}{4}.$$

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