Familia de funciones armónicas

Determinamos una familia de funciones armónicas de una forma dada.

Enunciado
Hallar todas las funciones armónicas de la forma $w=f(x^2+y^2)$.

Solución
Denotemos $t=x^2+y^2$. Entonces: $$w_x=f’(t)\;2x,\; w_y=f’(t)\;2y,$$ $$w_{xx}=f”(t)\cdot 2x\cdot 2x+f’(t)\cdot 2,\;w_{yy}=f”(t)\cdot 2y\cdot 2y+f’(t)\cdot 2.$$ La función $w$ es armónica si y sólo si $\nabla^2w=w_{xx}+w_{yy}=0$. Por tanto: $$\nabla^2w=0 \Leftrightarrow 4(x^2+y^2)f”(t)+4f’(t)=0 \Leftrightarrow tf”(t)+f’(t)=0 .$$ Resolvamos la ecuación diferencial anterior:
$$tf”(t)+f’(t)=0\;,\;\dfrac{f”(t)}{f’(t)}=-\dfrac{1}{t}\;,\;\log |f’(t)|=-\log |t|+C_1\;,$$ $$ f’(t)=\dfrac{C_1}{t}\;,\; f(t)=C_1\log |t|+C_2\;,\; f(x^2+y^2)=C_1\log (x^2+y^2)+C_2.$$ Las funciones pedidas son por tanto $$w= C_1\log (x^2+y^2)+C_2\;, \;\; (C_1,C_2 \mbox{ constantes)}.$$

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