Grupo de clases residuales

Proporcionamos ejercicios sobre el grupo de clases residuales.

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Construir la tabla de Cayley de $\mathbb{Z}/(3)=\left\{0,1,2\right\}.$
  2. Construir las tablas de Cayley de $(\mathbb{Z}_2,+)$ y $(\mathbb{Z}_4,+).$
  3. Construir la tabla de Cayley de $(\mathbb{Z}_6,+).$ Escribir el opuesto de cada elemento.
  4. Construir la tabla de Cayley de $(\mathbb{Z}_5,+).$ Escribir el opuesto de cada elemento.
    Solución
  1. Dado que $a+b$ es $c,$ siendo $c$ resto de la división euclídea de $a+b$ entre $3:$ $$\begin{array}{r|*{3}{r}}{+}&0&1&2\\\hline
    {}0&0&1&2\\
    {}1&1&2&0\\
    {}2&2&0&1
    \end{array}$$ Los correspondientes elementos opuestos son:
    $$-0=0,\;-1=2,\;-2=1.$$
  2. Usando la conocida forma de sumar clases, las correspondientes tablas son: $$\begin{array}{r|*{2}{r}}{+}&0&1\\\hline
    {}0&0&1\\
    {}1&1&0
    \end{array}\qquad \begin{array}{r|*{4}{r}}{+}&0&1&2&3\\\hline
    {}0&0&1&2&3\\
    {}1&1&2&3&0\\
    {}2&2&3&0&1\\
    {}3&3&0&1&2
    \end{array}$$
  3. Usando la conocida forma de sumar clases: $$\begin{array}{r|*{6}{r}}{+}&0&1&2&3&4&5\\\hline
    {}0&0&1&2&3&4&5\\
    {}1&1&2&3&4&5&0\\
    {}2&2&3&4&5&0&1\\
    {}3&3&4&5&0&1&2\\
    {}4&4&5&0&1&2&3\\
    {}5&5&0&1&2&3&4\\
    \end{array}$$ Los correspondientes opuestos son:
    $$-0=0,\;-1=5,\;-2=4,\;-3=3,\;-4=2,\;-5=1.$$
  4. Usando la conocida forma de sumar clases: $$\begin{array}{r|*{5}{r}}{+}&0&1&2&3&4\\\hline
    {}0&0&1&2&3&4\\
    {}1&1&2&3&4&0\\
    {}2&2&3&4&0&1\\
    {}3&3&4&0&1&2\\
    {}4&4&0&1&2&3
    \end{array}$$ Los correspondientes opuestos son: $$-0=0,\;-1=4,\;-2=3,\;-3=2,\;-4=1.$$
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