Factores integrantes

Publicada el marzo 4, 2014 por Fernando Revilla

Proporcionamos ejercicios sobre factores integrantes y un anexo teórico.

RESUMEN TEÓRICO
  • Definición. Supongamos que la ecuación $Pdx+Qdy=0$ no es diferencial exacta. Si $\mu=\mu (x,y)$ es una función tal que $\mu Pdx+\mu Qdy=0$ es diferencial exacta, decimos que $\mu$ es un factor integrante de la ecuación dada.
  • Nota. La condición para que $\mu=\mu (x,y)$ sea factor integrante de la ecuación $Pdx+Qdy=0$ es $$\frac{\partial (\mu P)}{\partial y}=\frac{\partial (\mu Q)}{\partial x},$$ o de manera equivalente $$\frac{\partial \mu }{\partial y}P+\mu \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial \mu }{\partial x}Q+\mu \frac{\partial Q}{\partial x}.$$ Esta última ecuación diferencial en derivadas parciales será en principio más difícil de resolver que la ecuación inicial dada, sin embargo es posible hallar factores integrantes cuando conocemos a priori una forma particular de la función $\mu.$
    Enunciado
  1. Se considera la ecuación diferencial $Pdx+Qdy=0.$
    (a) Determinar la relación que se ha de cumplir para que la ecuación tenga un factor integrante $\mu=\mu (x)$ que dependa exclusivamente de $x$.
    (b) Aplicación: resolver la ecuación diferencial $(1-xy)dx+(xy-x^2)dy=0.$
  2. Se considera la ecuación diferencial $Pdx+Qdy=0.$
    (a) Determinar la relación que se ha de cumplir para que la ecuación tenga un factor integrante $\mu=\mu (y)$ que dependa exclusivamente de $y$.
    (b) Aplicación: resolver la ecuación diferencial $\dfrac{y}{x}dx+(y^3-\log x)dy=0.$
  3. Se considera la ecuación diferencial $Pdx+Qdy=0.$
    (a) Determinar la relación que se ha de cumplir para que la ecuación tenga un factor integrante $\mu=\mu (y^2-x^2)$ que dependa de $y^2-x^2$.
    (b) Aplicación: hallar un factor integrante de la ecuación $$(x+y^2+1)dx-2xydy=0.$$
  4. Se considera la ecuación diferencial $Pdx+Qdy=0.$ Determinar la relación que se ha de cumplir para que la ecuación tenga un factor integrante $\mu=\mu (x+y^2)$ que dependa exclusivamente de $x+y^2.$
  5. Se considera la ecuación diferencial $Pdx+Qdy=0.$
    (a) Determinar la relación que se ha de cumplir para que la ecuación tenga un factor integrante $\mu=\mu (x^2+y^2)$ que dependa exclusivamente de $x^2+y^2.$
    (b) Aplicación: resolver la ecuación diferencial $xdx+ydy+x(xdy-ydx)=0.$
    Solución
  1. (a) La ecuación $\mu Pdx+\mu Q=0$ es diferencial exacta si y sólo si $(\mu P)_y=(\mu Q)_x$. Entonces, si $\mu$ depende exclusivamente de $x:$ $$(\mu P)_y=(\mu Q)_x \Leftrightarrow \mu P_y=\mu’Q+\mu Q_x \Leftrightarrow \dfrac{\mu’}{\mu}=\dfrac{1}{Q}(P_y-Q_x).$$ Esto implica que $(P_y-Q_x)/Q=F(x)$, es decir ha de ser función de $x$.
    (b) Para la ecuación dada tenemos $$\dfrac{1}{Q}(P_y-Q_x)=\dfrac{-x-y+2x}{xy-x^2}=\dfrac{x-y}{x(y-x)}=-\dfrac{1}{x}=F(x).$$ Halemos un factor integrante $$\dfrac{\mu’}{\mu}=-\dfrac{1}{x}\;,\;\log |\mu|=-\log |x|\;,\; \mu=\dfrac{1}{x}.$$ Multiplicando por $\mu=1/x$ obtenemos la ecuación diferencial exacta:$$\left(\dfrac{1}{x}-y\right)dx+(y-x)dy=0.$$ Hallemos la correspondiente función potencial $u=u(x,y):$ $$u=\displaystyle\int (y-x)dy=\dfrac{y^2}{2}-xy+\varphi (x)\Rightarrow$$ $$u_x=-y+\varphi'(x)=\dfrac{1}{x}-y \Rightarrow \varphi(x)=\log |x|+K.$$ La solución general de la ecuación dada es $$\log |x|-xy+\dfrac{y^2}{2}=C.$$
  2. (a) La ecuación $\mu Pdx+\mu Q=0$ es diferencial exacta si y sólo si $(\mu P)_y=(\mu Q)_x$. Entonces, si $\mu$ depende exclusivamente de $y:$ $$(\mu P)_y=(\mu Q)_x \Leftrightarrow \mu’ P+\mu P_y=\mu Q_x \Leftrightarrow \dfrac{\mu’}{\mu}=\dfrac{1}{P}(Q_x-P_y).$$ Esto implica que $(Q_x-P_y)/P=F(y)$, es decir ha de ser función de $y.$
    (b) Para la ecuación dada tenemos $$\dfrac{1}{P}(Q_x-P_y)=\dfrac{x}{y}\left(-\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{-2}{y}=F(y).$$ Halemos un factor integrante $$\dfrac{\mu’}{\mu}=-\dfrac{2}{y}\;,\;\log |\mu|=-2\log |y|=\log |y|^{-2}\;,\; \mu=\dfrac{1}{y^2}.$$ Multiplicando por $\mu=1/y^2$ obtenemos la ecuación diferencial exacta: $$\dfrac{1}{xy}\;dx+\left(y-\dfrac{\log x}{y^2}\right)dy=0.$$ Hallemos la correspondiente función potencial $u=u(x,y):$ $$ u=\displaystyle\int \dfrac{dx}{xy}=\dfrac{\log x}{y}+\varphi (y)\Rightarrow
    u_y=-\dfrac{\log x}{y^2}+\varphi^{\prime}(y)=$$ $$y-\dfrac{\log x}{y^2} \Rightarrow \varphi(y)=\dfrac{y^2}{2}+K $$ La solución general de la ecuación dada es $$\dfrac{\log x}{y}+\dfrac{y^2}{2}=C .$$
  3. (a) La ecuación $\mu Pdx+\mu Q=0$ es diferencial exacta si y sólo si $(\mu P)_y=(\mu Q)_x$. Entonces, si $\mu=\mu (z)$ depende exclusivamente de $z=y^2-x^2:$ $$(\mu P)_y=(\mu Q)_x \Leftrightarrow \mu'(z)2y P+\mu(z)P_y=-2x\mu'(z)Q+\mu(z) Q_x $$ $$\Leftrightarrow\dfrac{\mu'(z)}{\mu (z)}=\dfrac{Q_x-P_y}{2xQ+2yP}$$ Esto implica que $$\frac{Q_x-P_y}{2xQ+2yP}=F(y^2-x^2),$$ es decir ha de ser función de $y^2-x^2.$
    (b) Para la ecuación dada tenemos $$\dfrac{Q_x-P_y}{2xQ+2yP}=\dfrac{-2y-2y}{-4x^2y+2x^2y+2y^3+2y}=\dfrac{-2}{1+y^2-x^2}=F(y^2-x^2).$$ Halemos un factor integrante $$\dfrac{\mu'(z)}{\mu (z)}=-\dfrac{2}{1+z}\;,\;\log |\mu (z)|=-2\log |1+z|=\log |1+z|^{-2}\;,\; \mu(z)=\dfrac{1}{z^2}.$$ Por tanto, un factor integrante que depende de $y^2-x^2$ es: $$\mu=\dfrac{1}{(1+y^2-x^2)^2}.$$
  4. La ecuación $\mu Pdx+\mu Q=0$ es diferencial exacta si y sólo si $(\mu P)_y=(\mu Q)_x$. Entonces, si $\mu=\mu (z)$ depende exclusivamente de $z=x+y^2:$ $$(\mu P)_y=(\mu Q)_x \Leftrightarrow \mu'(z)2y P+\mu(z)P_y=\mu'(z)Q+\mu(z) Q_x $$ $$\Leftrightarrow\dfrac{\mu'(z)}{\mu (z)}=\dfrac{Q_x-P_y}{2yP-Q}$$ Esto implica que $$\frac{Q_x-P_y}{2yP-Q}=F(x+y^2),$$ es decir ha de ser función de $x+y^2.$
  5. (a) La ecuación $\mu Pdx+\mu Q=0$ es diferencial exacta si y sólo si $(\mu P)_y=(\mu Q)_x$. Entonces, si $\mu=\mu (z)$ depende exclusivamente de $z=x^2+y^2:$ $$(\mu P)_y=(\mu Q)_x \Leftrightarrow \mu'(z)2y P+\mu(z)P_y=2x\mu'(z)Q+\mu(z) Q_x $$ $$\Leftrightarrow\dfrac{\mu'(z)}{\mu (z)}=\dfrac{Q_x-P_y}{2yP-2xQ}$$ Esto implica que $$\frac{Q_x-P_y}{2yP-2xQ}=F(x^2+y^2),$$ es decir ha de ser función de $x^2+y^2.$
    (b) La ecuación diferencial es $$(x-xy)dx+(y+x^2)dy=0.$$ Entonces, $$\dfrac{\mu'(z)}{\mu (z)}=\dfrac{Q_x-P_y}{2yP-2xQ}=\frac{2x+x}{2y(x-xy)-2x(y+x^2)}=-\frac{3}{2}\frac{1}{x^2+y^2}$$ $$=-\frac{3}{2z},\;\log \left|\mu (z)\right|=-\frac{3}{2}\log \left|z\right|=\log \left|z\right|^{-3/2},\;\mu (z)=\frac{1}{(x^2+y^2)^{3/2}}.$$ Multiplicando por $\mu (z)$ a la ecuación dada obtenemos la ecuación diferencial exacta: $$\frac{x-xy}{(x^2+y^2)^{3/2}}dx+\frac{y+x^2}{(x^2+y^2)^{3/2}}dy=0.$$ Hallemos la función potencial $u:$ $$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{x-xy}{(x^2+y^2)^{3/2}},\; u=(1-y)\int \frac{x\;dx}{(x^2+y^2)^{3/2}} $$ $$=(y-1)(x^2+y^2)^{-1/2}+\varphi (y).$$ $$\frac{\partial u}{\partial y}=(x^2+y^2)^{-1/2}+(y-1)\cdot \frac{-1}{2}(x^2+y^2)^{-3/2}2y+\varphi'(y)$$ $$=\frac{x^2+y^2}{(x^2+y^2)^{3/2}}-\frac{y^2-y}{(x^2+y^2)^{3/2}}+\varphi ‘(y)=\frac{y+x^2}{(x^2+y^2)^{3/2}}+\varphi'(y).$$ Igualando a $\dfrac{y+x^2}{(x^2+y^2)^{3/2}},$ queda $\varphi'(y)=0,$ por tanto $\varphi (y)=K.$ La solución general es por tanto $$\frac{y-1}{\sqrt{x^2+y^2}}=C.$$
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