Finura de las relaciones de orden

Estudiamos la relación finura de las relaciones de orden.

Enunciado
Sea $E$ un conjunto y $\Omega$ el conjunto de todas las relaciones de orden definidas en $E.$ Diremos que la relación de orden $\hat{w}$ es mas fina que la relación $w$ si y sólo si $(\forall x,y \in E)(x\;w\;y\Rightarrow x\;\widehat{w}\;y)$
$a)$ Sea $E=\mathbb{N},$ compárese la finura de las dos relaciones siguientes: $x\;w_1\;y$ $\Leftrightarrow x\;|\;y$ y  $x\;w_2\;y$ $\Leftrightarrow x\leq y,$
$b)$ Demuéstrese que la relación ser más fina que definida en $\Omega,$ es una relación de orden.
$c)$ Compruébese la existencia de un máximo en $\Omega$ para ésta relación de orden.
$d)$ Sea $E$ un conjunto de dos elementos. Constrúyase el conjunto de todas las relaciones de orden en $E$ y ordénese por finura.

(Propuesto en examen de Álgebra, ETS de Ing. Industriales, UPM).

Solución
$a)$ Se verifica $x\;w_1\;y \Rightarrow x\;|\;y \Rightarrow \exists p\in \mathbb{N}:y=px \Rightarrow x\leq y \Rightarrow x\;w_2\;y,$ lo cual implica que $w_2$ es más fina que $w_1.$
$b)$ Denotemos por $\leq^*$ la relación en $\Omega$ ser más fina que, es decir $$w_1\leq^*w_2 \Leftrightarrow [(\forall x,y \in E)(x\;w_2\;y\Rightarrow x\;w_1\;y)].$$ $(i)$ Reflexiva. Para cada par de elementos $x,y\in E$ y para cada $w\in\Omega$ se verifica trivialmente $x\;w\;y\Rightarrow x\;w\;y,$ es decir $w\leq^*w.$
$(ii)$ Antisimétrica. Se verifica: $$\displaystyle\begin{aligned}
\left \{ \begin{matrix} w_1\leq^*w_2\\w_2\leq^*w_1\end{matrix}\right.&\Rightarrow\left \{ \begin{matrix}  (\forall x,y \in E)(x\;w_2\;y\Rightarrow x\;w_1\;y)\\(\forall x,y \in E)(x\;w_1\;y\Rightarrow x\;w_2\;y)\end{matrix}\right.\\
&\Rightarrow (\forall x,y \in E)(x\;w_1\;y \Leftrightarrow x\;w_2\;y)\\
&\Rightarrow w_1=w_2.
\end{aligned}$$ $(iii)$ Transitiva. Se verifica: $$\displaystyle\begin{aligned}
\left \{ \begin{matrix} w_1\leq^*w_2\\w_2\leq^*w_3\end{matrix}\right.&\Rightarrow\left \{ \begin{matrix}  (\forall x,y \in E)(x\;w_2\;y\Rightarrow x\;w_1\;y)\\(\forall x,y \in E)(x\;w_3\;y\Rightarrow x\;w_2\;y)\end{matrix}\right.\\
&\Rightarrow (\forall x,y \in E)(x\;w_3\;y\Rightarrow x\;w_1\;y)\\
&\Rightarrow w_1\leq^* w_3.
\end{aligned}$$ Concluimos que $\leq^*$ es relación de orden en $\Omega.$
$c)$ Sea $w_0\in \Omega$ la relación de orden identidad, es decir $x\;w_0\;y\Leftrightarrow x=y.$ Si $w\in\Omega,$ al ser $w$ relación de orden verifica la propiedad reflexiva, por tanto $x\;w\;x$ para todo $x\in E.$ Entonces: $$x\;w_0\;y \Rightarrow x=y\Rightarrow x\;w\;y\Rightarrow w\leq^*w_0.$$ En consecuencia, $w_0$ es elemento máximo en $\Omega$ para $\leq^*$.
$d)$ Sea $E=\{a,b\}$ con $a\neq b.$ Es claro que sólo existen tres relaciones de orden en $E:$ $$\left \{ \begin{matrix} w_0:& a\;w_0\;a\;,\;b\;w_0\;b\\ w_1:& a\;w_1\;a\;,\;b\;w_1\;b\;,\;a\;w_1\;b\\w_2:& a\;w_2\;a\;,\;b\;w_2\;b\;,\;b\;w_2\;a.\end{matrix}\right.$$ Por tanto $\Omega=\{w_0,w_1,w_2\}$ y ordenado por finura sería $w_1<^*w_0$ y $w_1<^*w_0.$

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