Diferencia simétrica: propiedad asociativa

Demostramos la propiedad asociativa de la diferencia simétrica usando las propiedades de la función característica.

Enunciado
Sean $A,B,C$ subconjuntos de un conjunto universal $X$. Usando propiedades de la función característica, demostrar la propiedad asociativa de la diferencia simétrica, es decir $(A\Delta B)\Delta C=A\Delta (B\Delta C)$.

Solución
Para cualquier par de subconjuntos $M$ y $N$ de $X$, sabemos que $M=N$ si y sólo si $\mathbf{1}_{M}=\mathbf{1}_{N}$. Bastará pues demostrar que $$\mathbf{1}_{(A\Delta B)\Delta C}=\mathbf{1}_{A\Delta (B\Delta C)}.\quad (1)$$ Sabemos también que $$\mathbf{1}_{M\Delta N}=\mathbf{1}_M + \mathbf{1}_N – 2\cdot\mathbf{1}_M \cdot\mathbf{1}_N.$$ Desarrollemos separadamente $\mathbf{1}_{(A\Delta B)\Delta C}$ y $\mathbf{1}_{A\Delta (B\Delta C)}:$ $$\mathbf{1}_{(A\Delta B)\Delta C}=\mathbf{1}_{(A\Delta B)}+\mathbf{1}_{C}-2\cdot\mathbf{1}_{(A\Delta B)}\cdot \mathbf{1}_{C}\\
=\mathbf{1}_{A}+\mathbf{1}_{B}-2\cdot\mathbf{1}_{A}\cdot \mathbf{1}_{B}+\mathbf{1}_{C}-2\left(\mathbf{1}_{A}+\mathbf{1}_{B}-2\cdot\mathbf{1}_{A}\cdot \mathbf{1}_{B}\right)\cdot \mathbf{1}_{C}\\
=\mathbf{1}_{A}+\mathbf{1}_{B}+\mathbf{1}_{C}-2\cdot\mathbf{1}_{A}\cdot \mathbf{1}_{B}-2\cdot\mathbf{1}_{A}\cdot \mathbf{1}_{C}-2\cdot\mathbf{1}_{B}\cdot \mathbf{1}_{C}+4\cdot\mathbf{1}_{A}\cdot \mathbf{1}_{B}\cdot \mathbf{1}_{C}.$$ $$\mathbf{1}_{A\Delta (B\Delta C)}=\mathbf{1}_{A}+\mathbf{1}_{(B\Delta C)}-2\cdot \mathbf{1}_{A}\cdot\mathbf{1}_{(B\Delta C)}\\
=\mathbf{1}_{A}+\mathbf{1}_{B}+\mathbf{1}_{C}-2\cdot\mathbf{1}_{B}\cdot \mathbf{1}_{C}-2\cdot \mathbf{1}_{A}\left(\mathbf{1}_{B}+\mathbf{1}_{C}-2\cdot\mathbf{1}_{B}\cdot \mathbf{1}_{C}\right)\\
=\mathbf{1}_{A}+\mathbf{1}_{B}+\mathbf{1}_{C}-2\cdot\mathbf{1}_{A}\cdot \mathbf{1}_{B}-2\cdot\mathbf{1}_{A}\cdot \mathbf{1}_{C}-2\cdot\mathbf{1}_{B}\cdot \mathbf{1}_{C}+4\cdot\mathbf{1}_{A}\cdot \mathbf{1}_{B}\cdot \mathbf{1}_{C}.$$ Se verifica $(1)$, por tanto $(A\Delta B)\Delta C=A\Delta (B\Delta C)$.

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